漫画算法-学习笔记（11）

漫画算法-小灰的算法之旅（11）

文章目录

漫画算法-小灰的算法之旅（11）
- 1. 什么是二叉堆
- - 什么是最大堆？
  - 什么是最小堆？
- 2. 二叉堆堆自我调整
- - 插入节点
  - 删除节点
  - 构建二叉堆
  - 时间复杂度
- 3. 二叉堆的代码实现
- - 代码实现

1. 什么是二叉堆

二叉堆：本质上是一种完全二叉树，它分两个类型。

最大堆
最小堆

什么是最大堆？

最大堆：最大堆的任何一个父节点的值，都大于或等于它左、右孩子节点的值。

什么是最小堆？

最小堆：最小堆的任何一个父节点的值，都小于或等于它左、右孩子节点的值。

二叉堆的根节点叫作堆顶。最大堆和最小堆堆特点决定了：最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素；最小堆的堆顶是整个堆中的最小元素。

2. 二叉堆堆自我调整

对于二叉堆，有如下几种操作：

插入节点
删除节点
构建二叉堆

这几种操作都是基于堆的自我调整。所谓堆的自我调整，就是把一个不符合堆性质的完全二叉树，调整为一个堆。以最小堆为例，讲解二叉堆事如何进行自我调整的。

插入节点

当二叉堆插入节点时，插入位置是完全二叉树的最后一个位置。例如插入一个新节点，值为0.
此时，新节点的父节点5比0大，显然不符合最小堆的性质。于是让新节点**“上浮”**，和父节点交换位置。
继续用节点0和父节点3做比较，因为0小于3，则让新节点继续**“上浮”**。
继续比较，最终新节点0**“上浮”**，到了堆顶位置。

删除节点

二叉堆删除节点的过程和插入节点的过程正好相反，所删除的是处于堆顶的节点。例如删除最小堆的堆顶节点1.

此时，为了继续维持完全二叉树的结构，我们把堆堆最后一个节点10临时不到原本堆顶顶的位置。

接下来，让暂处堆顶位置的节点10和它的左、右孩子进行比较，如果左、右孩子节点中最小的一个（显然是节点2）比节点10小，那么让节点10**“下沉”**。

继续让节点10和它的左、右孩子做比较，左、右孩子中最小的是节点7，由于10大于7，让节点10继续**“下沉”**。

这样一来，二叉堆重新得到了调整。

构建二叉堆

构建二叉堆，也就是把一个无序的完全二叉树调整为二叉堆，本质上就是让所有非叶子节点依次“下沉”。

下面举一个无序完全二叉树的例子，如下图所示。

首先，从最后一个非叶子节点开始，也就是从节点10开始。如果节点10大于它左、右孩子节点中最小的一个，则节点10”下沉“。

接下来轮到节点3，如果节点3大于它左、右孩子节点中最小的一个，则节点3“下沉”。

然后轮到节点1，如果节点1大于它左、右孩子节点中最小的一个，则节点1“下沉”。事实上节点1小于它的左、右孩子，因此不用改变。

接下来轮到节点7，如果节点7大于它左、右孩子节点中最小的一个，则节点7“下沉”。

节点7继续比较，继续“下沉”。

经过上述几轮比较和“下沉”操作，最终每一个节点都小于它的左、右孩子节点，一个无序的完全二叉树就被构建成了一个最小堆。

时间复杂度

插入节点：时间复杂度是O(logn);是单一节点的"上浮"，平均交换次数都是堆高度的一半。空间复杂度O(n)

删除节点：时间复杂度是O(logn);删除操作是针对单节点的"下沉",平均交换次数都是堆高度的一半。空间复杂度O(n)

3. 二叉堆的代码实现

二叉堆虽然是一个完全二叉树，但它的存储方式并不是链式存储，而是顺序存储。

因此，二叉堆的所有节点都存储在数组中。

在数组中，在没有左、右指针的情况下，如何定位一个父节点的左孩子和右孩子呢？

如上图所示，采用数组下标来计算。

假设父节点的下标是parent,那么它的左孩子下标就是2xparent+1;右孩子下标就是2xparent+2.

示例中，节点6包含9和10两个孩子节点，节点6在数组中的下标是3，节点9在数组中的下标是7，节点10在数组的下标是8.

7=3x2+1;

8=3x2+2;

代码实现

/**
* “上浮”调整
* param array. 待调整的堆
*/
public static void upAdjust(int[] array){int childIndex=array.length-1;int parentIndex=(childIndex-1)/2;// temp保存插入的叶子节点值，用于最后的赋值int temp=array[childIndex];while(childIndex >0 && temp< array[parentIndex]){// 无须真正交换，单向赋值即可array[childIndex]=array[parentIndex];childIndex=parentIndex;parentIndex=(parentIndex-1)/2;}array[childIndex]=temp;
}/**
* “下沉”调整
* param array   待调整的堆
* param parentIndex 要“下沉”的父节点
* param length 堆的有效大小
*/
public static void downAdjust(int[] array, int parentIndex,int length){// temp保存父节点值，用于最后的赋值int temp =array[parentIndex];int childIndex=2*parentIndex+1;while(childIndex<length){//如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值，则定位到右孩子if(childIndex+1<length && array[childIndex+1]<array[childIndex]){childIndex++;}//如果父节点小于任何一个孩子的值，则直接跳出if(temp<=array[childIndex]){break;}//无须真正交换，单向赋值即可array[parentIndex]=array[childIndex];parentIndex=childIndex;childIndex=2*childIndex+1;}array[parentIndex]=temp;
}/**
* 构建堆
* param  array 待调整的堆
*/
public static void buildHeap(int[] array){// 从最后一个非叶子节点开始，依次做"下沉"调整for(int i=(array.length-2)/2;i>=0;i--){downAdjust(array,i,array.length);}
}public static void main(String[] args){int[] array=new int[]{1,3,2,6,5,7,8,9,10,0};upAdjust(array);System.out.println(Arrays.toString(array));array=new int[]{7,1,3,10,5,2,8,9,6};buildHeap(array);System.out.println(Arrays.toString(array));
}

二叉堆的用处？

二叉堆是实现堆排序以及优先队列的基础。