组合数学7---Fibonacci数

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Fibonacci由来
Fibonacci兔子
Fibonacci序列
Fibonacci发现
Fibonacci数学表现
思考：能否单独求出FnF_nFn?

Fibonacci由来

Leonardo of Pisa

1150年印度数学家研究箱子包装物件长度刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述这个数列。
1202年，斐波那契出版《算盘全书》(Liber abbaci)
22岁时，随父亲亚非等国家，在那里学会了用印度数码计算。
在西方数学复兴中起到了先锋作用，在东西方的数学发展中起到了桥梁作用。
1936年，《斐波那契季刊》（The Fibonacci Quarterly）专门登载有关这个数列的最新发现。

Fibonacci兔子

一对兔子，第一个月相遇，第二个月结婚，第三个月生子，新生的小兔子经过一个月的成熟，会在出生的第二个月生下小兔子，如此往复，假设兔子永远存活，第五十个月，兔子的总对数是多少？
如下图：

兔子的数量包括两部分：
第一个部分: n−1n-1n−1个月兔子的数量（存活下来）
第二个部分: n−2n-2n−2个月兔子的数量（成熟兔子本月生育）
所以，递推式为： Fn=Fn−1+Fn−2F_n=F_{n-1}+F_{n-2}Fn=Fn−1+Fn−2

Fibonacci序列

Fibonacci序列（OEIS：A000045）：
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 … …
递推关系：Fn=Fn−1+Fn−2，n≥2F_n=F_{n-1}+F_{n-2}，n\ge2Fn=Fn−1+Fn−2，n≥2
初始值：F0=0,F1=1F_0=0,F_1=1F0=0,F1=1

Fibonacci发现

Fibonacci与杨辉三角

Fibonacci与自然界
树的生长树枝的分叉分布满足Fibonacci数列。
花朵花瓣的数目满足Fibonacci数列。
最后一位数字，每60个数一循环；
最后两位数字，每300个数一循环；
最后三位数字，每1500个数一循环；
最后四位数字，每15000个数一循环；
最后五位数字，每150000个数一循环；
…
每第三个数可被2整除；
每第四个数可被3整除；
每第五个数可被5整除；
每第六个数可被8整除；
…
这些除数本身也构成斐波那契数列。
Fibonacci prime（Sequence A005478 in OEIS）
除了n=4之外，所有的Fibonacci primes的序号都是素数。
但是并不是所有素数序号的斐波那契数都是素数。
斐波那契数列中是否存在无穷多个素数？
目前已知最大素数是第81839个斐波那契数，一共有17103位数。

Fibonacci数学表现

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 … …
1 1 4 8 25 64 169 441 1156 3025 … …
1+1+4=6=2×31+1+4=6=2×31+1+4=6=2×3
1+1+4+9=15=3×51+1+4+9=15=3×51+1+4+9=15=3×5
1+1+4+9+25=40=5×81+1+4+9+25=40=5×81+1+4+9+25=40=5×8
1+1+4+9+25+64=104=8×131+1+4+9+25+64=104=8×131+1+4+9+25+64=104=8×13
所以：F12+F22+⋯+Fn2=FnFn+1F_1^2+F_2^2+\cdots+F_n^2=F_nF_{n+1}F12+F22+⋯+Fn2=FnFn+1
证明如下图：长方形面积等于所有小正方形面积之和=长×宽。
数学推导如下图：
F1+F2+⋯+Fn=Fn+2−1F_1+F_2+\cdots+F_n=F_{n+2}-1F1+F2+⋯+Fn=Fn+2−1
数学推导如下图：
F1+F3+F5+⋯+F2n−1=F2nF_1+F_3+F_5+\cdots+F_{2n-1}=F_{2n}F1+F3+F5+⋯+F2n−1=F2n
数学推导如下图：

思考：能否单独求出FnF_nFn?

求解过程如下图：

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