摘要

旋转矩阵更容易理解与记忆的推导，从2D到3D

声明：本文推导适用于右手坐标系。
旋转角度说明：本文说的绕x轴旋转θ\thetaθ度指的是顺着x轴负方向看过去，逆时针旋转θ\thetaθ度。若想获得顺时针旋转的旋转矩阵，只需要把θ\thetaθ改为−θ-\theta−θ即可。（个人觉得3D空间中要想准确描述旋转而不造成混淆，至少要说明三点：旋转轴，朝向，在该朝向下是顺时针还是逆时针旋转。）

2D旋转矩阵

2D旋转矩阵推导公式网上都有，不再赘述。参考这里，有

由上述推导可得2D空间中，从X轴向Y轴旋转θ\thetaθ度的旋转矩阵为：
[X′Y′]=[cosθ−sinθsinθcosθ][XY]\begin{bmatrix} X' \\ Y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} [X′Y′]=[cosθsinθ−sinθcosθ][XY]
注意：上述公式相当于3D空间中，绕Z轴旋转θ\thetaθ度的公式，即顺着Z轴负方向看过去逆时针旋转θ\thetaθ度。也相当于把X轴旋转向Y轴的公式。
后面的3D旋转矩阵全都以此为基础变形，无非是移动一下元素位置。

3D旋转矩阵

绕Z轴旋转θ\thetaθ度的公式

由2D旋转矩阵直接可得，不作推导：
[X′Y′Z′]=[cosθ−sinθ0sinθcosθ0001][XYZ]\begin{bmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} ⎣⎡X′Y′Z′⎦⎤=⎣⎡cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎦⎤⎣⎡XYZ⎦⎤

绕Y轴旋转θ\thetaθ度的公式

可根据2D旋转矩阵直接变形得到，过程如下：
根据我们的规定，绕Y轴旋转表示逆着Y轴正方向逆时针旋转，根据右手坐标系可知，相当于从Z轴旋转向X轴，根据2D旋转矩阵，可得
[Z′X′]=[cosθ−sinθsinθcosθ][ZX]\begin{bmatrix} Z' \\ X' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Z \\ X \end{bmatrix} [Z′X′]=[cosθsinθ−sinθcosθ][ZX]
扩展到3D旋转矩阵，为
[Z′X′Y′]=[cosθ−sinθ0sinθcosθ0001][ZXY]\begin{bmatrix} Z' \\ X' \\ Y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Z \\ X \\ Y \end{bmatrix} ⎣⎡Z′X′Y′⎦⎤=⎣⎡cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎦⎤⎣⎡ZXY⎦⎤
调整一下右边坐标顺序，公式变形为
[Z′X′Y′]=[−sinθ0cosθcosθ0sinθ010][XYZ]\begin{bmatrix} Z' \\ X' \\ Y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -sin\theta & 0 & cos\theta \\ cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} ⎣⎡Z′X′Y′⎦⎤=⎣⎡−sinθcosθ0001cosθsinθ0⎦⎤⎣⎡XYZ⎦⎤
再调整一下左边坐标顺序，公式变形为
[X′Y′Z′]=[cosθ0sinθ010−sinθ0cosθ][XYZ]\begin{bmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} ⎣⎡X′Y′Z′⎦⎤=⎣⎡cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎦⎤⎣⎡XYZ⎦⎤
这就是我们所要求的绕Y轴旋转θ\thetaθ度的公式。

绕X轴旋转θ\thetaθ度的公式

同理，也可从2D旋转矩阵直接变形得到
[X′Y′Z′]=[1000cosθ−sinθ0sinθcosθ][XYZ]\begin{bmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} ⎣⎡X′Y′Z′⎦⎤=⎣⎡1000cosθsinθ0−sinθcosθ⎦⎤⎣⎡XYZ⎦⎤

旋转矩阵更容易理解与记忆的推导，从2D到3D

摘要

2D旋转矩阵

3D旋转矩阵

绕Z轴旋转θ\thetaθ度的公式

绕Y轴旋转θ\thetaθ度的公式

绕X轴旋转θ\thetaθ度的公式

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