Matlab微分求解工具箱使用

求数值解

dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)

求解析解

[t，x]=solver(’f’,ts,x0,options)

详细的使用说明可参考博文Matlab微分方程求解

导弹问题

问题介绍

设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度v0v_0v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0v_0v0，求导弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？

模型建立与求解

1. 解析法

模型建立：设t时刻导弹的位置为P(x(t),y(t)),乙舰位于Q（1,V0tV_0tV0t），由题（导弹头始终对准乙舰）可得，导弹在运动弧线p点处的切线y′=v0t−y1−xy^{\prime}=\frac{v_{0} t-y}{1-x}y′=1−xv0t−y即 v0t=(1−x)y′+y(1)v_{0} t=(1-x) y^{\prime}+y(1)v0t=(1−x)y′+y(1)
又由题意（导弹速度是舰的5倍）故有：∫0x1+y′2dx=5v0t(2)\int_0^x {\sqrt {1 + y{'^2}} } {\rm{d}}x = 5{v_0}t (2)∫0x1+y′2dx=5v0t(2)
有（1）（2）式可得微分微分方程为：(1−x)y′′=151+y′2（3）(1-x) y^{\prime \prime}=\frac{1}{5} \sqrt{1+y^{\prime 2}}（3）(1−x)y′′=511+y′2（3）
初值方程为：y(0)=0y(0) = 0y(0)=0，y′(0)=0y'(0) = 0y′(0)=0，利用Matlab求解可得：y=−58(1−x)45+512(1−x)65+524y = - \frac{5}{8}{(1 - x)^{\frac{4}{5}}} + \frac{5}{{12}}{(1 - x)^{\frac{6}{5}}} + \frac{5}{{24}}y=−85(1−x)54+125(1−x)56+245

2. 数值解法

将上述方程化为一阶方程，不妨设y1=y,y2=y′y_1=y,y_2=y'y1=y,y2=y′,代入（3）中得到{y1′=y2y2′=151+y12/(1−x)\left\{\begin{array}{l}y_{1}^{\prime}=y_{2} \\ y_{2}^{\prime}=\frac{1}{5} \sqrt{1+y_{1}^{2}} /(1-x)\end{array}\right.{y1′=y2y2′=511+y12/(1−x)
利用Matlab求解：

%定义函数
function dy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);
end调用
x0=0;
xf=0.9999;
[x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]);
plot(x,y(:,1),'-')
hold on
y=0:0．01:2;
plot(1,y,'*')

由图可得，导弹大致在点（1,0.2）处击中乙舰。

3. 参数方程

上述结题假设不变，在此基础再将导弹的速度设为www,则在P点处有：(dxdt)2+(dydt)2=w2（1）{({{{\rm{d}}x} \over {{\rm{d}}t}})^2} + {({{{\rm{d}}y} \over {{\rm{d}}t}})^2} = {w^2}（1）(dtdx)2+(dtdy)2=w2（1）
同时，导弹始终对准乙舰，即导弹速度向量与乙舰的位置向量平行，故有：
(dxdtdydt)=λ(X−xY−y),λ>0(2)\left(\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{l} X-x \\ Y-y \end{array}\right), \quad \lambda>0(2)(dtdxdtdy)=λ(X−xY−y),λ>0(2)
将
{dxdt=w(X−x)2+(Y−y)2(X−x)dydt=w(X−x)2+(Y−y)2(Y−y)（3）\left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=\frac{w}{\sqrt{(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}}}(X-x) \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\frac{w}{\sqrt{(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}}}(Y-y) \end{array}\right.（3）⎩⎨⎧dtdx=(X−x)2+(Y−y)2w(X−x)dtdy=(X−x)2+(Y−y)2w(Y−y)（3）
不妨假设乙舰速度为1，则w=5，X=1，Y=t，此时导弹的参数轨迹为：
{dxdt=5(1−x)2+(t−y)2(1−x)dydt=5(1−x)2+(t−y)2(t−y)x(0)=0,y(0)=0\left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=\frac{5}{\sqrt{(1-x)^{2}+(t-y)^{2}}}(1-x) \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\frac{5}{\sqrt{(1-x)^{2}+(t-y)^{2}}}(t-y) \\ x(0)=0, y(0)=0 \end{array}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧dtdx=(1−x)2+(t−y)25(1−x)dtdy=(1−x)2+(t−y)25(t−y)x(0)=0,y(0)=0

matlab求解：

function dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);
end%调用
[t,y]=ode45('eq2',[0 2],[0 0]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'-')hold on          plot(y(:,1),y(:,2),'*')

由图可得，导弹最终大致在（1，0.2）处命中目标。这里还以尝试用二分法的思想进一步得到更精确的答案，……tf=0.21是可得求解图像为：

据此可得更为精确的答案。

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