Lebesgue可测集

定义1（可测集）： 设E⊂RnE \sub \mathbb{R}^nE⊂Rn，若∀T⊂Rn\forall T \sub \mathbb{R}^n∀T⊂Rn，有m∗(T)=m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec),m^{*}(T)=m^{*}(T \cap E)+m^{*}(T\cap E^c),m∗(T)=m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec),称EEE是Lebesgue可测集，简称为可测集。可测集全体记作Mn\mathcal{M}_nMn，称为Rn\mathbb{R}^nRn的可测集类。如果要强调可测集类的维数，则记成Mn\mathcal{M}_nMn。

当E∈ME\in \mathcal{M}E∈M时，m∗(E)m^{*}(E)m∗(E)称为EEE的测度，简记作m(E)m(E)m(E)，则2Rn\M2^{\mathbb{R}^n} \backslash \mathcal{M}2Rn\M中的元素称为不可测集。由外测度的次可加性，对于∀T⊂Rn\forall T \sub \mathbb{R}^n∀T⊂Rn，有m∗(T)≥m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec)m^{*}(T)\ge m^{*}(T\cap E)+m^{*}(T \cap E^c)m∗(T)≥m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec)

定理1： 若m∗(E)=0m^{*}(E)=0m∗(E)=0，则E∈ME \in \mathcal{M}E∈M。

证明：因为m∗(E)=0m^{*}(E)=0m∗(E)=0，则对于∀T⊂Rn\forall T \sub \mathbb{R}^n∀T⊂Rn ，有T∩E⊂ET\cap E \sub ET∩E⊂E，故m∗(T∩E)=0m^{*}(T \cap E)=0m∗(T∩E)=0，于是m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec)=m∗(T∩Ec)≤m∗(T)m^{*}(T\cap E)+m^{*}(T \cap E^c)=m^{*}(T \cap E^c)\le m^{*}(T)m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec)=m∗(T∩Ec)≤m∗(T)由此得E∈ME \in \mathcal{M}E∈M。

定理2： Rn\mathbb{R}^nRn中开矩体I∈MI \in \mathcal{M}I∈M，且m(I)=∣I∣m(I)=|I|m(I)=∣I∣。

证明：只要验证对于每个开矩体JJJ，有m∗(J)=m∗(J∩I)+m∗(J∩Ic)m^{*}(J)=m^{*}(J \cap I)+m^{*}(J \cap I^c)m∗(J)=m∗(J∩I)+m∗(J∩Ic)J∩IJ \cap IJ∩I仍是开矩体，有m∗(J∩I)=∣J∩I∣m^{*}(J \cap I)=|J \cap I|m∗(J∩I)=∣J∩I∣。而J∩Ic=J\(J∩I)J \cap I^c=J \backslash(J\cap I)J∩Ic=J\(J∩I)，它是开矩体中挖去一个开矩体，有m∗(J∩Ic)=∣J∣−∣J∩I∣m^{*}(J \cap I^c)=|J|-|J \cap I|m∗(J∩Ic)=∣J∣−∣J∩I∣，因此有m∗(J)=∣J∣=∣J∩I∣+∣J∣−∣J∩I∣=m∗(J∩I)+m∗(J∩Ic)m^{*}(J)=|J|=|J\cap I|+|J|-|J\cap I|=m^{*}(J \cap I)+m^{*}(J \cap I^c)m∗(J)=∣J∣=∣J∩I∣+∣J∣−∣J∩I∣=m∗(J∩I)+m∗(J∩Ic)所以I∈MI \in \mathcal{M}I∈M。

定理3： 可测集性质：
（1）∅∈M\emptyset \in\mathcal{M}∅∈M，m(∅)=0m(\emptyset)=0m(∅)=0；
（2）若E∈ME \in \mathcal{M}E∈M，则Ec∈ME^c \in \mathcal{M}Ec∈M；
（3）若E,F∈ME,F\in \mathcal{M}E,F∈M，则E∪F,E∩F,E\F∈ME \cup F,E \cap F,E \backslash F\in \mathcal{M}E∪F,E∩F,E\F∈M;
（4）可列可加性：若Ej∈M,j=1,2,⋯E_j \in \mathcal{M},j =1,2,\cdotsEj∈M,j=1,2,⋯，则⋃n=1∞Ej∈M\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_j \in \mathcal{M}n=1⋃∞Ej∈M；若还有Ei∩Ej=∅(i≠j)E_i \cap E_j =\emptyset(i\ne j)Ei∩Ej=∅(i=j)，则m(⋃j=1∞Ej)=∑j=1∞m(Ej)m\left(\bigcup_{j=1}^{\infty} E_j\right)=\sum\limits_{j=1}^\infty m(E_j)m(j=1⋃∞Ej)=j=1∑∞m(Ej)

推论1： 若Ej∈M(j=1,2,⋯)E_j \in \mathcal{M}(j=1,2,\cdots)Ej∈M(j=1,2,⋯)，则⋂j=1∞Ej∈M\bigcap\limits_{j=1}^{\infty}E_j \in \mathcal{M}j=1⋂∞Ej∈M。

定理4： 若有递增可测集列E1⊂E2⊂⋯⊂Ek⊂⋯E_1\sub E_2 \sub \cdots \sub E_k \sub \cdotsE1⊂E2⊂⋯⊂Ek⊂⋯，则lim⁡k→∞∈M\lim\limits_{k \rightarrow \infty }\in \mathcal{M}k→∞lim∈M，且m(lim⁡k→∞Ek)=lim⁡k→∞m(Ek)m\left(\lim\limits_{k \rightarrow \infty}E_k\right)=\lim\limits_{k \rightarrow \infty}m(E_k)m(k→∞limEk)=k→∞limm(Ek)

推论2： 若E1⊂E2⊂⋯⊂Ek⊂⋯E_1\sub E_2 \sub \cdots \sub E_k \sub \cdotsE1⊂E2⊂⋯⊂Ek⊂⋯是递减可测集列，且m(E1)<∞m({E_1})< \inftym(E1)<∞，则m(lim⁡k→∞Ek)=lim⁡k→∞m(Ek)m(\lim\limits_{k \rightarrow \infty}E_k)=\lim\limits_{k \rightarrow \infty}m(E_k)m(k→∞limEk)=k→∞limm(Ek)

定理5： 若E∈ME \in \mathcal{M}E∈M，则∀x∈Rn\forall x \in \mathbb{R}^n∀x∈Rn，E+{x}∈ME+\{x\}\in \mathcal{M}E+{x}∈M成立。

定理6： 若EEE是可测集，则存在Borel\mathrm{Borel}Borel集G,FG,FG,F，使F⊂E⊂GF\sub E\sub GF⊂E⊂G且m(F)=m(G)=m(E)m(F)=m(G)=m(E)m(F)=m(G)=m(E)。

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