PID详解（理论+应用）

~~~~ 最近研究智能小车这个方面，发现这个课题貌似已经被研究透了，仅仅在CSDN中就能搜索到无数的相关博文。但我查看一些博文的时候，隐隐感觉出作者君似乎也仅仅处于似懂非懂的阶段，又或者他用的是春秋笔法所以模糊了一些关键点？为了记录下自己看过的博文并且自我总结一些相关方面，在此提笔记录一下自己的研究过程。

理论基础：

PID是什么？

工业过程中广泛采用的三作用控制器，也称PID控制器(PID controller).

P: (Proportional)比例；
I : (Integral)积分；
D:(Derivative)微分；

时域输出方程：

u(t)=KP∗e(t)+KI∗∫e(t)+KD∗de(t)dtu(t)=K_P*e(t) +K_I*\int e(t)+K_D*\frac{de(t)}{dt}u(t)=KP∗e(t)+KI∗∫e(t)+KD∗dtde(t)

编程中我们更多用到的是这个方程的数字式：

U[k]=KP∗err[k]+KI∗∑err[k]+KD∗(err[k]−err[k−1])U[k]=K_P*err[k]+K_I*\sum err[k]+K_D*(err[k]-err[k-1])U[k]=KP∗err[k]+KI∗∑err[k]+KD∗(err[k]−err[k−1])

由基本的自控知识可得到传递函数：

Gc(s)=U(s)E(s)=KP+KIs+KD∗sGc(s)=\frac{U(s)}{E(s)}=K_P+\frac{K_I}{s}+K_D*sGc(s)=E(s)U(s)=KP+sKI+KD∗s

其中可调的三个参数就是:

KPK_PKP：比例增益 Proportional gain
KIK_IKI ：积分增益 Integral gain
KDK_DKD：微分增益 Derivative gain

但很多情况下，我们不需要使用到全部的三种手段，经过排列组合就出现了P、PI、PD这种不完全版的控制器。

在工业中，更多采用传统的PID控制器：

u(t)=100P(e(t)+1T1∫e(t)dt+TDde(t)dt)~~~~~~~u(t)=\frac{100}{P}(e(t)+\frac{1}{T_1}\int e(t)dt+T_D\frac{de(t)}{dt}) u(t)=P100(e(t)+T11∫e(t)dt+TDdtde(t))

其中：
P : 比例带(%)
T1T_1T1 :积分时间(s)
TDT_DTD:微分时间(s/min)

对比之前的公式，我们得到：

KP=100PK_P = \frac{100}{P}KP=P100
KI=100P∗1T1K_I = \frac{100}{P}*\frac{1}{T_1}KI=P100∗T11
KD=100P∗TDK_D=\frac{100}{P}*T_DKD=P100∗TD

~~~~ 在工业的高精度要求与复杂处理环境下，我们对微积分时间的关注度更高。但在平时的小设计没有必要采用这一套体系。

~~~~ 在实际应用中，反馈测量信号往往混杂高频噪声，微分处理则会放大这些噪声，所以这里我们需要滤波来去除高频噪声。

~~~~ 所以这里我们的微分项在实际实现是采用：

Gd(s)=KDsτds+1~~~~~G_d(s)=\frac{K_Ds}{\tau_d s+1} Gd(s)=τds+1KDs

其中：
τd\tau_dτd 作为滤波时间常数，远远小于过程本身的时间，可以忽略。

位置式PID和增量式PID

位置式PID与增量式PID区别浅析：参考博文原址

位置式PID:

还是这个公式：

其中误差

P:e(k)=设定值−当前状态值P: e(k) = 设定值 - 当前状态值P:e(k)=设定值−当前状态值
I:∑e(i)=误差的累加I : \sum e(i) = 误差的累加I:∑e(i)=误差的累加
D:e(k)−e(k−1)=本次误差−上一次的误差D: e(k) - e(k-1) = 本次误差 - 上一次的误差D:e(k)−e(k−1)=本次误差−上一次的误差

位置式PID是对：当前系统的实际位置与你预期位置的偏差进行PID控制。

通常PD控制器就可以满足位置式PID：

因为有误差积分 ∑e(i)，一直累加，也就是当前的输出u(k)与过去的所有状态都有关系，用到了误差的累加值；（误差e会有误差累加），输出的u(k)对应的是执行机构的实际位置，，一旦控制输出出错(控制对象的当前的状态值出现问题 )，u(k)的大幅变化会引起系统的大幅变化
并且位置式PID在积分项达到饱和时,误差仍然会在积分作用下继续累积，一旦误差开始反向变化，系统需要一定时间从饱和区退出，所以在u(k)达到最大和最小时，要停止积分作用，并且要有积分限幅和输出限幅。
所以在使用位置式PID时，一般我们直接使用PD控制
而位置式 PID 适用于执行机构不带积分部件的对象，如舵机和平衡小车的直立和温控系统的控制

typedef struct PID
{ float P,I,D,limit;
}PID;typedef struct Error
{float Current_Error;//当前误差float Last_Error;//上一次误差float Previous_Error;//上上次误差
}Error;/*! *  @brief      位置式PID*  @since      v1.0*  *sptr ：误差参数*  *pid:  PID参数*  NowPlace：当前位置*  Point：   预期位置  */// 位置式PID控制
float PID_Realize(Error *sptr,PID *pid, int32 NowPlace, float Point)
{int32 iError,  // 当前误差Realize;   //实际输出    iError = Point - NowPlace; // 计算当前误差sptr->Current_Error += pid->I * iError;    // 误差积分sptr->Current_Error = sptr->Current_Error > pid->limit?pid->limit:sptr->Current_Error;//积分限幅sptr->Current_Error = sptr->Current_Error <-pid->limit?-pid->limit:sptr->Current_Error;Realize = pid->P * iError       //比例P+ sptr->Current_Error   //积分I+ pid->D * (iError - sptr->Last_Error);  //微分Dsptr->Last_Error = iError;           // 更新上次误差return Realize;    // 返回实际值
}

增量式PID

Δu[k]=u[k]−u[k−1]\Delta u[k] = u[k]-u[k-1]Δu[k]=u[k]−u[k−1]
=KP[e[k]−e[k−1]]+KIe(k)+KD[e[k]−2e[k−1]+e[k−2]]=K_P[e[k]-e[k-1]]+K_Ie(k)+K_D[e[k]-2e[k-1]+e[k-2]]=KP[e[k]−e[k−1]]+KIe(k)+KD[e[k]−2e[k−1]+e[k−2]]

P:e(k)−e(k−1)=P: e(k)-e(k-1)=P:e(k)−e(k−1)= 本次误差 - 上一次的误差

I:e(i)=I : e(i) =I:e(i)= 误差

D:e[k]−2e[k−1]+e[k−2]￥D: e[k]-2e[k-1]+e[k-2]￥D:e[k]−2e[k−1]+e[k−2]￥ = 本次误差 - 2*上一次的误差+上上次误差

增量式PID的控制量Δu(k)\Delta u(k)Δu(k)是最近几次误差的增量，而不是实际的误差，没有误差累加
所以增量式PID不需要累加，只需要最近的相邻三次误差就可以通过加权获得比较好的控制效果，而系统出问题时这种PID不会严重影响系统工作。

总结：增量型 PID，是对位置型 PID 取增量，这时控制器输出的是相邻两次采样时刻所计算的位置值之差，得到的结果是增量，即在上一次的控制量的基础上需要增加（负值意味减少）控制量。

typedef struct PID
{ float P,I,D,limit;
}PID;
typedef struct Error
{float Current_Error;//当前误差float Last_Error;//上一次误差float Previous_Error;//上上次误差
}Error;/*! *  @brief      增量式PID*  @since      v1.0*  *sptr ：误差参数*  *pid:  PID参数*  NowPlace：实际值*  Point：   期望值*/
// 增量式PID电机控制
int32 PID_Increase(Error *sptr, PID *pid, int32 NowPlace, int32 Point)
{int32 iError,  //当前误差Increase; //最后得出的实际增量iError = Point - NowPlace;  // 计算当前误差Increase =  pid->P * (iError - sptr->Last_Error)   //比例P+ pid->I * iError      //积分I+ pid->D * (iError - 2 * sptr->Last_Error + sptr->Previous_Error);  //微分Dsptr->Previous_Error = sptr->Last_Error; // 更新前次误差sptr->Last_Error = iError;         // 更新上次误差return Increase;   // 返回增量
}

辨析：

增量式与位置式区别：
1。增量式算法不需要做累加，控制量增量的确定仅与最近几次偏差采样值有关，计算误差对控制量计算的影响较小。而位置式算法要用到过去偏差的累加值，容易产生较大的累加误差。
2。增量式算法得出的是控制量的增量，例如在阀门控制中，只输出阀门开度的变化部分，误动作影响小，必要时还可通过逻辑判断限制或禁止本次输出，不会严重影响系统的工作。而位置式的输出直接对应对象的输出，因此对系统影响较大。
3。增量式PID控制输出的是控制量增量，并无积分作用，因此该方法适用于执行机构带积分部件的对象，如步进电机等，而位置式PID适用于执行机构不带积分部件的对象，如电液伺服阀。
4。在进行PID控制时，位置式PID需要有积分限幅和输出限幅，而增量式PID只需输出限幅
位置式PID优缺点：
优点：
①位置式PID是一种非递推式算法，可直接控制执行机构（如平衡小车），u(k)的值和执行机构的实际位置（如小车当前角度）是一一对应的，因此在执行机构不带积分部件的对象中可以很好应用
缺点：
①每次输出均与过去的状态有关，计算时要对e(k)进行累加，运算工作量大。
增量式PID优缺点：
优点：
①误动作时影响小，必要时可用逻辑判断的方法去掉出错数据。
②手动/自动切换时冲击小，便于实现无扰动切换。当计算机故障时，仍能保持原值。
③算式中不需要累加。控制增量Δu(k)的确定仅与最近3次的采样值有关。
缺点：
①积分截断效应大，有稳态误差；
②溢出的影响大。有的被控对象用增量式则不太好；

下面理论分析PID的作用

Gc(s)=KP+KIs+KDs=KDs2+KPs+KIs=KD(S2+as+b)s=KD(s+z1)(s+z2)sG_c(s)=K_P+ \frac{K_I}{s}+K_Ds =\frac{K_Ds^2+K_Ps+K_I}{s}\\ =\frac{K_D(S^2+as+b)}{s}=\frac{K_D(s+z_1)(s+z_2)}{s}Gc(s)=KP+sKI+KDs=sKDs2+KPs+KI=sKD(S2+as+b)=sKD(s+z1)(s+z2)

根据数学知识可得：
a=KPKD,b=KIKDa=\frac{K_P}{K_D},b=\frac{K_I}{K_D}a=KDKP,b=KDKI

所以我们可以得知，引用PID会为系统带来一个纯积分环节和两个零点。
原点处的极点可以提高系统的型数，改善稳态性能
两个零点理论上可以在任何位于左半S平面的任意位置

PID整定方法

对于有数学模型的系统，自然可以仿真完成整定，但对于一个实际系统，我们可以通过实验来标定。

1.手动标定

1.系统闭环，采取P控制器，设置Ki = 0, Kd = 0, Kp取一个较小的数，满足系统稳定即可
2.逐渐增加Kp，每次改变控制器参数，都要观察一段时间系统输出量、控制量，直到闭环系统达到临界稳定，输出量产生等幅度、等周期的持续震荡记录此时的Kp
3.将Kp减少一半，继续采用P控制器，逐步减少Kp，直到获得4：1衰减震荡
4.固定Kp，设置Kd = 0，采用PI控制器，将Ki从0开始逐渐增大，每次改变控制器参数，都要观察一段时间系统输出、控制量，直到闭环系统对扰动的抑制 和/或 对设定值的阶跃响应 达到最佳。
5.固定Kp和Ki，采用PID控制器，将Kd从0开始逐渐增大，每次改变控制器参数观察系统输出、控制量，直到闭环系统对扰动的抑制 和/或 对设定值的阶跃相应达到最佳
6.采用PID控制器，在已获得的Kp，Ki，Kd附近，进一步精调控制器参数，直到得到最满意的系统响应

对于PID的三个参数，对系统阶跃相应的影响：

PID增益	百分比超调量	调整时间	稳态误差
增大Kp	增大	影响很小	减小
增大Ki	增大	增大	为0
增大Kd	减小	减小	没有影响

上表仅为参考，现实中情况错综复杂，一定要积极变通。

2.临界比例带法：Z-N法(Zigler-Nichols)

闭环：

这是一套实验得出的方法，目标是使得闭环系统得到4：1衰减振荡的阶跃相应，闭环相应速度较快、振荡适中、扰动抑制能力强。

1.设置Ki = 0, Kd = 0, 采用纯P控制器
2.增大Kp，观测输入、输出，直到系统达到临界稳定，产生幅值和周期不变的持续振荡
3.记录Kp，成为临界增益Ku；振荡周期称为临界振荡周期Tu
4.选定控制器类型，按闭环Z-N整定规则计算PID各个增益

整定规则：

控制器类型	Kp	Ki	Kd
P Gc(s)=Kp	0.5Ku -	-
PI Gc(s)=Kp+Ki/s	0.45Ku	0.54Ku/tu	-
PID Gc(s)=Kp+Ki/s+Kds	0.6Ku	1.2Ku/Tu	0.6KuTu/8

其实还有一种开环Z-N手段，这里不再赘述

3.经验法：

1.P控制器：Ki = 0, Kd = 0,选择初始Kp, 观测扰动曲线或设定值响应曲线，增大或减小Kp，观测曲线是否有所改善，若改善，则继续按此方向整定Kp，反之，反向整定Kp，直到得到较好的曲线
2.Kp减小0.8倍，从0开始增大Ki，观测曲线，得到较好的响应曲线
3.固定Ki,精调Kp，增大或减小Kp，直到得到较好的响应曲线
4.同里，精调Ki
5.由此得到较好的Kp、Ki
6.若增加微分，则采用类似方法，从0开始整定Kp，并进一步精调Kp、Ki、Kd

也可按照以下初始试凑范围设定PID控制器初始值，然后精调

系统类型	P(%)	Ti(s)	Td(s)
温度	20-60	180-600	30-180
流量	40-100	6-60	-
压力	30-70	124-180
液压	20-80

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