多边形游戏动态规划C语言实现

问题描述

思路

刚拿到题目的时候感觉是一脸懵的，道理我都懂，但是思路和头绪倒是一直没有蹦出来，妥妥的一个模拟类题的茫然脸。
第一个思路肯定是暴力穷举，当然这种办法比较low，而且很可能在时空复杂度上爆掉，所以直接扔掉。
首先尝试手动模拟流程，寻找规律，主要从 + * 的顺序入手，观察数字对它们的影响。由于负数的存在，分类讨论难度过于繁复，先放一边，其他思路不可以再用它推进。
因为是个最优解问题，很自然地想到局部最优推得全局最优，因此萌生了动态规划计算最优子结构的办法。

动态规划

那么问题来了，既然是动态规划计算最优子结构，那怎样算最优子结构呢？不同于其他问题直接取最大值为最优子结构，因为这个问题存在乘法负负得正的情况，因此我们还需要考虑取添加分类讨论过程，将乘法时左右两边都为负列入考虑范围。
考虑了最优子结构的定义，剩下的就是递归求解的过程了。我们知道动态规划中有两个非常重要的概念——状态转移方程和临界条件。我们从合并的角度考虑问题：
+：
min_now = minl + minr
max_now = maxl + maxr
*：
min_now = min(minl * minr, maxl * maxr, minl * maxr, minr * maxl)
max_now = max(minl * minr, maxl * maxr, minl * maxr, minr * maxl)
式中，minl，maxl为合并前符号左边的最小值与最大值；minr，maxr为合并前符号右边的最小值与最大值。因为考虑到正负号的问题，所以*部分需要对四种情况讨论。
个人认为这个思路还是穷举的味道比较重的。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int get_minmax(int left, int point, int len);int n;
// 用了递归，数据不可能太大的，因为缓冲区会炸
// max[i][j]从第i位开始，往后数j个数（包括第i个数），j是链子的长度
int max_num[1000][1000], min_num[1000][1000];
char op[1000];int get_minmax(int left, int point, int len){int min_now, max_now;                // 断在s时合起来的最大最小 int real_point = (left+point)%n;      // 因为是个圆,这意味这断real_point边 int minleft = min_num[left][point];      // 因为point<len，所以这里的区间都是被计算过的 int maxleft = max_num[left][point];int minright = min_num[real_point][len-point];int maxright = max_num[real_point][len-point];// 计算s点合并掉后新的点的最大值最小值 if(op[real_point] == '+'){min_now = minleft+minright;max_now = maxleft+maxright; }else{min_now = min(minleft*minright, min(minleft*maxright, min(maxleft*minright, maxleft*maxright)));max_now = max(minleft*minright, max(minleft*maxright, max(maxleft*minright, maxleft*maxright)));}return min_now, max_now;
} int main(){scanf("%d", &n);char jump;scanf("%c", &jump); for (int i = 0; i<n; i++){scanf("%c", &op[i]);int temp;scanf("%d", &temp);max_num[i][1] = temp;   // 初始化 min_num[i][1] = temp;}for (int i = 0;i<n;i++){printf("%d ",max_num[i][1]);}printf("\n");int min_now,max_now;          // 代表[i,j]中能出的最大值最小值 // 第一重对应不同长度下两边的最优解。因此到了n就是最终结果for(int j=2; j<=n; j++)          // 因为j=1已经在之前确定完了，长度为1的时候就是自己。// 第二重对应不同起点下不同长度的最优解，就是区间[i,i+j-1]的里的最优解for(int i=0;i<n;i++)       // 要干掉第i个点  // 第三重就是在这个区间中找到断点的最佳位置for(int s=1; s<=j-1; s++){    // s是对应[i，i+j]中间的第s个数 min_now, max_now = get_minmax(i, s, j);max_num[i][j] = max(max_num[i][j], max_now);min_num[i][j] = min(min_num[i][j], min_now);}int ret = max_num[0][n];
//  for(int i = 0; i<n; i++){//      ret = max(ret, max_num[i][n]);
//      for (int j=1;j<=n;j++)
//          printf("%d ", max_num[i][j]);
//      printf("\n");
//  }           printf("%d", ret);return 0;
}
//测试数据：
//4
//+-7+4*2*5

三重for循环中的前两重的顺序是个细节操作，不可以换位置，因为换位之后会造成计算时用到了没被处理的max_num和min_num，比如计算max_num[0][3]时，当point为1，则max_num=max_num[0][1]+max_num[1][2]，此时因为大循环是首个空断边，所以才进行到0，max_num[1][2]还没被计算到，所以仍为0。

黄色背景的是被计算过的数据，红色字体的是正在计算的数据，绿色字体的是此时计算所要用到的数据。我们可以发现先循环长度才能保证每次被用到的数据的断点长度point<已有长度len，同时用到的数据max_num[real_point][len-point]也被计算完了。如下图：