1.

bvp4c：

sol =

bvp4c(odefun,bcfun,solinit)

sol =

bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options)

sol =

bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2...)

sol返回如下值

sol.x bvp4c选择的网格

sol.y

在网格点sol.x的

y(x)的接近值

sol.yp在网格点sol.x的

y'(x)的接近值

sol.parameters 未知参数的值

sol.solver 'bvp4c'

2.odefun 为微分方程

dydx =

odefun(x,y)

dydx = odefun(x,y,p1,p2,...)

dydx = odefun(x,y,parameters)

dydx = odefun(x,y,parameters,p1,p2,...)

parameters 为未知参数向量，p1和p2...为已知参数向量

dydx为列向量

3.

bcfun 计算边界条件的残留值bc( y(a),y(b) ),输出列向量

res =

bcfun(ya,yb)

res = bcfun(ya,yb,p1,p2,...)

res = bcfun(ya,yb,parameters)

res = bcfun(ya,yb,parameters,p1,p2,...)

4.

solinit

solinit的结构如下：

x 初始网格的节点(相当于自变量的节点)，边界条件满足a=solinit.x(1)

和b=solint.x(end)

y 解的初始假设，solinit.y(:,i)为自变量solinit.x(i)对应的解的估计值

parameters 可选，未知参数的初始估计向量，对于存在未知参数的情况，必须提供

sol.y(1,1).............. sol.y(1,i).............

sol.y(1,end)

...

sol.y(m,1).............. sol.y(m,i).............

sol.y(m,end)

sol.x(1) ................sol.x(i) .................sol.x(end)

solinit的赋值语句为bvpinit,语法如下

solinit =

bvpinit(x,v)

solinit = bvpinit(x,v,parameters)

solinit = bvpinit(sol,[anew bnew])

solinit = bvpinit(sol,[anew bnew],parameters)

x为初始网格向量，对于边界区间[a,b]需满足

x(1)=a,

x(end)=b, 一般情况下可用 x=linspace(a,b,10)

v为解的估计，可以是一个向量，也可以是一个函数

v为向量的情况，v(i)代表的就是

y(i,:),也就是不管自变量为多少y(i)都是这个值，向量的维数等于因变量个数

v为函数的情况，对于给定一个网格，函数必须返回一个向量y(1),y(2),y(3)...y(m)

y=guess(x) 代表的是 y(:,j)=guess( x(j) )

solinit =

bvpinit(sol,[anew bnew])

由[a,b]上的解sol，得到[anew,bnew]的解的初始估计，so either anew <= a < b

<= bnew or anew >= a > b >= bnew

5.deval 评估 自变量=xint时候的解

sxinit=

deval_r(sol.xint)

6.

options的设置

bvpset语句

options =

bvpset('name1',value1,'name2',value2,...)

options = bvpset(oldopts'name1',value1,...)

options = bvpset(oldopts,newopts)

name value

RelTol

正标量 默认为1e-3 相对精度

AbsTol

正标量 默认为1e-6 绝对精度

Vectorized on或者off

将ode函数F([x1 x2 ...],[y1 y2

...]),写成[F(x1,y1) F(x2,y2)

...]. 的形式，能减少函数评估的次数，降低运行时间

SingularTerm

矩阵

方程的奇异项， 如 y'=Sy/x + f(x,y,p) x=[0,b]

,则设置常数矩阵S

FJacobian

函数、矩阵或元胞数组 提供odefun的解析偏导数

对于y'=f(x,y)，则提供f对y的偏导数，若偏导数都为常数项，则用元胞数组的形式给出；若有未知参数，还需计算对未知参数的偏导数

BCJacobian

函数、元胞数组

提供边界函数bcfun的解析偏导数

bc(ya,yb)=0 则计算bc对ya,yb 的偏导数，若有未知参数p还需计算未知参数的偏导数：[DBCDYA,DBCDYB,DBCDP] =

BCJAC(YA,YB,P)

Nmax

正整数

网格的最大值

Stats on 或者off 显示计算过程的统计数据

算法原理：

bvp4c is a

finite difference code that implements the three-stage Lobatto IIIa

formula. This is a collocation formula and the collocation

polynomial provides a C1-continuous solution that is fourth order

accurate uniformly in [a,b]. Mesh selection and error control are

based on the residual of the continuous solution.