1_傅立叶笔记:基础知识

写在前面: 疫情期间一直在家自习《信号与系统》，查阅了很多网上的资料，特此整理成博文以备复习。

文章目录

三角函数系的正交性
傅立叶级数的表示形式
狄拉克函数和狄拉克梳状函数
- 狄拉克函数
- 拓展：单位冲激偶信号
- 狄拉克梳状函数
符号函数的傅立叶变换

三角函数系的正交性

对集合：{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,coskx,sinkx,…}, k ∈ N k\in N k∈N。满足性质：
∫ − π π s i n k x dx = 0 ∫ − π π c o s k x dx = 0 \int_{-\pi}^{\pi}sinkx \textrm{\bf{dx}}=0 \qquad \int_{-\pi}^{\pi}coskx \textrm{\bf{dx}}=0 ∫−ππsinkxdx=0∫−ππcoskxdx=0
根据上述性质可进一步推导得到如下性质:( m ≠ n , m , n ∈ N m\neq n,m,n\in N m=n,m,n∈N)
∫ − π π c o s ( m x ) c o s ( n x ) dx = 0 ∫ − π π s i n ( m x ) s i n ( n x ) dx = 0 \int_{-\pi}^{\pi}cos(mx)cos(nx) \textrm{\bf{dx}}=0 \qquad \int_{-\pi}^{\pi}sin(mx)sin(nx) \textrm{\bf{dx}}=0 ∫−ππcos(mx)cos(nx)dx=0∫−ππsin(mx)sin(nx)dx=0
且:( m , n ∈ N m,n\in N m,n∈N)
∫ − π π s i n ( m x ) c o s ( n x ) dx = 0 \int_{-\pi}^{\pi}sin(mx)cos(nx) \textrm{\bf{dx}}=0 ∫−ππsin(mx)cos(nx)dx=0
证明的话利用三角函数和差化积or积化和差公式即可。上述性质在复指数表达式中同样成立，这里仅举一例说明：( m ≠ n m\neq n m=n)
∫ − π π e j ( m − n ) t dx = 0 \int_{-\pi}^{\pi}e^{j(m-n)t}\textrm{\bf{dx}}=0 ∫−ππej(m−n)tdx=0
如果想要更加深刻地理解并记忆这些性质，推荐阅读傅里叶变换后面的到底有什么小秘密和Jason Huang的回答。这两篇文章介绍了正交函数基和函数空间的概念，甚至涉及了实变函数的一些知识。而理解这些有助于我们推导出下面一个性质，日后证明傅立叶变换时需要用到。网上查了好多好多资料其实都没点到这个性质：在广义函数定义下，有如下等式成立：
∫ − ∞ + ∞ e j ( ω 1 − ω 2 ) t dt = { 2 π δ ( ω 1 − ω 2 ) ω 1 = ω 2 0 ω 1 ≠ ω 2 \int_{-\infty}^{+\infty}e^{j(\omega_1-\omega_2)t}\textrm{\bf{dt}}=\left\{\begin{matrix} 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)&\omega_1=\omega_2 \\ 0&\omega_1\neq \omega_2 \end{matrix}\right. ∫−∞+∞ej(ω1−ω2)tdt={2πδ(ω1−ω2)0ω1=ω2ω1=ω2

傅立叶级数的表示形式

对于信号 f ( t ) f(t) f(t),若周期为 T = 2 l T=2l T=2l且满足狄利克雷条件，则其傅里叶级数为
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ ( a n c o s ( n π t l ) + b n s i n ( n π t l ) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_ncos(\frac{n\pi t}{l})+b_nsin(\frac{n\pi t}{l}) f(t)=2a0+n=1∑+∞(ancos(lnπt)+bnsin(lnπt)其中傅里叶系数为:
a n = 1 l ∫ − l l f ( t ) c o s ( n π t l ) dx b n = 1 l ∫ − l l f ( t ) s i n ( n π t l ) dx a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(t)cos(\frac{n\pi t}{l})\textrm{\bf{dx}}\qquad b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(t)sin(\frac{n\pi t}{l})\textrm{\bf{dx}} an=l1∫−llf(t)cos(lnπt)dxbn=l1∫−llf(t)sin(lnπt)dx
有一说一，以上表达形式都是高数课本上的，在《信号与系统》这门课上用的更多的是以下表达式：
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ( 2 π / T ) t a k = 1 T ∫ T x ( t ) e − j k ω 0 t dt = = 1 T ∫ T x ( t ) e − j k ( 2 π / T ) t dt x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk(2\pi/T)t}\\ a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)e^{-jk\omega_0t}\textrm{\bf{dt}}==\frac{1}{T}\int_{T}x(t)e^{-jk(2\pi/T)t}\textrm{\bf{dt}} x(t)=k=−∞∑+∞akejkω0t=k=−∞∑+∞akejk(2π/T)tak=T1∫Tx(t)e−jkω0tdt==T1∫Tx(t)e−jk(2π/T)tdt
至于两种形式的互换推导，可以参见这篇文章或这个系列
以上这两篇文章也包含了对以后的FT,FS以及DFT的推导。但是个人觉得里面一些下标呀还有理论严谨性有待商榷，要么就是推导有点突兀。不过也是写得非常不错的文章,值得一看~

狄拉克函数和狄拉克梳状函数

狄拉克函数

其实就是冲激函数，定义如下：
δ ( x ) = { + ∞ x = 0 0 x ≠ 0 \delta(x)=\left\{\begin{matrix} +\infty& x=0 \\ 0& x\neq 0 \end{matrix}\right. δ(x)={+∞0x=0x=0
常用性质：

对称性： δ ( t ) = δ ( − t ) \delta(t)=\delta(-t) δ(t)=δ(−t)
尺度性： δ ( a t ) = 1 a δ ( t ) \delta(at)=\frac{1}{a}\delta(t) δ(at)=a1δ(t)
筛选性： ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) δ ( t − t 0 ) dt = x ( t 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta(t-t_0)\textrm{\bf{dt}}=x(t_0) ∫−∞+∞x(t)δ(t−t0)dt=x(t0)

拓展：单位冲激偶信号

定义如下： δ ′ ( t ) = d δ ( t ) d t \delta^{'}(t)=\frac{\mathrm{d}\delta(t) }{\mathrm{d} t} δ′(t)=dtdδ(t)
也有类似的抽样性质:
∫ − ∞ + ∞ δ ′ ( t ) f ( t ) dt = f ( t ) δ ( t ) ∣ − ∞ + ∞ − ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) f ′ ( t ) dt = − f ′ ( 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta^{'}(t)f(t)\textrm{\bf{dt}}=f(t)\delta(t)\Bigg|_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f^{'}(t)\textrm{\bf{dt}}=-f^{'}(0) ∫−∞+∞δ′(t)f(t)dt=f(t)δ(t)∣∣∣∣∣−∞+∞−∫−∞+∞δ(t)f′(t)dt=−f′(0)

狄拉克梳状函数

工程上称为脉冲序列或者采样函数，定义如下：
δ s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) \delta_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s) δs(t)=n=−∞∑∞δ(t−nTs)
在时域上为周期为 T s T_s Ts，脉冲强度为1的单位脉冲序列。注意到该函数可以当成周期函数，所以可以对其进行傅立叶变换，推导过程可以在这篇文章找到，给出结果如下：
X ( ω ) = 2 π T s ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( ω − n 2 π T s ) X(\omega)=\frac{2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\frac{2\pi}{T_s}) X(ω)=Ts2πn=−∞∑+∞δ(ω−nTs2π)
由此可见，采样函数的傅里叶变换为在频域上周期为 2 π T s \frac{2\pi}{T_s} Ts2π,冲击强度为 2 π T s \frac{2\pi}{T_s} Ts2π的采样函数。

符号函数的傅立叶变换

X s g n ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ s g n ( t ) e − j ω t d t = 2 ∫ 0 + ∞ e − j ω t d t = 2 j ω X_{sgn}(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}sgn(t)e^{-j\omega t}\mathbf{dt}=2\int_{0}^{+\infty}e^{-j\omega t}\mathbf{dt}=\frac{2}{j\omega} Xsgn(jω)=∫−∞+∞sgn(t)e−jωtdt=2∫0+∞e−jωtdt=jω2
有了这个之后，注意到单位阶跃函数
u ( t ) = 1 2 ( 1 + s g n ( t ) ) u(t)=\frac{1}{2}(1+sgn(t)) u(t)=21(1+sgn(t))
所以可以求解单位阶跃函数的傅立叶变换
X u ( j ω ) = π δ ( ω ) + 1 j ω X_{u}(j\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega} Xu(jω)=πδ(ω)+jω1