初等应用：NBA常规赛的赛事安排分配算法
题：著名的 N B A NBA NBA有东西区之分，各分区有15支球队，每支球队要去分区内的每支球队打4场比赛，与他区的每支球队打2场比赛，且要保证分区内和他区的比赛主客场数分别相等；设计一个算法满足这个条件且每个赛季可随机安排对阵球队。
解：
前言：这里只讨论算法的实现原理及其证明，不使用代码实现，因为算法本身才是最重要的，代码不过一实现的工具而已，世界缺的是想出算法的思维，而不是实现算法的奴隶.
说明：这里还是采用弗轮德(Freund，前人之伟岸望尘莫及)发明的循环赛赛程方法
解法：对各个分区的每支球队编号1~15，
1. 1. 1.赛区内赛程安排：对第k轮( k ∈ [ 1 , 15 ] k \in [1, 15] k∈[1,15])，有 i + j ≡ k ( m o d N ) ⋀ 2 i ̸ ≡ k ( m o d N ) ， N = 15 ， i 、 j 为 球 队 编 号 且 i 、 j ∈ [ 1 , 15 ] i+j \equiv k \pmod N \bigwedge 2i \not\equiv k \pmod N， N=15，i、j为球队编号且 i、j \in [1, 15] i+j≡k(modN)⋀2i̸≡k(modN)，N=15，i、j为球队编号且i、j∈[1,15]
对 于 2 i ≡ k ( m o d N ) 的 球 队 则 在 第 k 轮 休 息 ， 且 对 每 支 球 队 都 有 这 个 情 况 对于2i \equiv k \pmod N的球队则在第k轮休息，且对每支球队都有这个情况 对于2i≡k(modN)的球队则在第k轮休息，且对每支球队都有这个情况
{ 2 ∣ ( i + j ) ⇒ i 、 j 中 较 大 者 为 主 场 2 ∤ ( i + j ) ⇒ i 、 j 中 较 小 者 为 主 场 \begin{cases} 2 \mid (i+j) \Rightarrow i、j中较大者为主场 \\ 2 \nmid(i+j) \Rightarrow i、j中较小者为主场 \end{cases} {2∣(i+j)⇒i、j中较大者为主场2∤(i+j)⇒i、j中较小者为主场
2. 2. 2.他区赛程安排，对于他区赛事，则可以简单地选择为第一次为 N N N连客场，然后第二次为 N N N连主场，这里 N = 15 N=15 N=15
3. 3. 3.对于赛季随机安排对阵球队，可通过随机编号球队实现，甚至每一次循环都可以随机编号
证明：
1. 1. 1.赛区内赛程安排证明：
∵ \because ∵对于第 k k k轮有所有满足 i + j ≡ k ( m o d N ) ⋀ 2 i ̸ ≡ k ( m o d N ) i+j \equiv k \pmod N \bigwedge 2i \not\equiv k \pmod N i+j≡k(modN)⋀2i̸≡k(modN)
∵ \because ∵如果存在 m m m球队使得 i + j ≡ i + m ≡ k ( m o d N ) i+j \equiv i +m \equiv k \pmod N i+j≡i+m≡k(modN)
∴ j ≡ m ( m o d N ) \therefore j \equiv m \pmod N ∴j≡m(modN)
∵ \because ∵又 j 、 m ∈ [ 1 , N ] j、m \in [1, N] j、m∈[1,N]
∴ j = m \therefore j = m ∴j=m
∴ \therefore ∴在第 k k k轮对于球队 i i i而言，要么休息( 2 i ≡ k ( m o d N ) 2i \equiv k \pmod N 2i≡k(modN))，要么只与另一支球队 j ≡ k − i ( m o d N ) j \equiv k - i \pmod N j≡k−i(modN)( j 存 在 且 唯 一 j存在且唯一 j存在且唯一)打一场比赛
∵ ( 2 , N ) = 1 ， N = 15 \because(2, N) = 1，N=15 ∵(2,N)=1，N=15
∴ 2 i ≡ k ( m o d N ) 有 解 \therefore 2i \equiv k \pmod N有解 ∴2i≡k(modN)有解
∵ 2 i ≡ 2 m ( m o d N ) ⇒ i ≡ m ( m o d N ) ⇒ i = m \because 2i \equiv 2m \pmod N \Rightarrow i \equiv m \pmod N \Rightarrow i = m ∵2i≡2m(modN)⇒i≡m(modN)⇒i=m
∴ 对 于 第 k 轮 存 在 且 唯 一 支 球 队 休 息 \therefore 对于第k轮存在且唯一支球队休息 ∴对于第k轮存在且唯一支球队休息
接下来证明主客场：
∵ \because ∵对于任一支球队 i i i而言，有
{ 2 ∤ i ⇒ 所 有 小 于 i 的 球 队 有 偶 数 支 ⇒ i + j 奇 偶 同 数 ， 同 理 大 于 i 的 球 队 也 有 i + j 奇 偶 同 数 2 ∣ i ⇒ 所 有 小 于 i 的 球 队 有 2 m + 1 支 ( 奇 数 ) ， 则 对 于 第 2 m + 1 支 球 队 和 2 m + 3 支 球 队 可 实 现 互 补 ， 这 是 存 在 的 ， 因 为 N = 15 为 奇 数 \begin{cases} 2 \nmid i \Rightarrow 所有小于i的球队有偶数支 \Rightarrow i+j奇偶同数，同理大于i的球队也有i+j奇偶同数 \\ 2 \mid i \Rightarrow 所有小于i的球队有2m+1支(奇数)，则对于第2m+1支球队和2m+3支球队可实现互补，这是存在的，因为N=15为奇数 \end{cases} {2∤i⇒所有小于i的球队有偶数支⇒i+j奇偶同数，同理大于i的球队也有i+j奇偶同数2∣i⇒所有小于i的球队有2m+1支(奇数)，则对于第2m+1支球队和2m+3支球队可实现互补，这是存在的，因为N=15为奇数
∴ 对 于 任 一 支 球 队 有 主 客 场 数 一 样 \therefore 对于任一支球队有主客场数一样 ∴对于任一支球队有主客场数一样
这样就结束了第一次循环的区内比赛赛程安排，第二、三、四次循环可依此进行。
2. 2. 2.他区赛程安排证明：显而易见
3. 3. 3.对于赛季随机安排对阵球队证明：显而易见
后言：据我所知， N B A NBA NBA的每支球队是打一天休一天，而且可以看到有球队连续休息 2 2 2天，这就符合了上面的算法( 2 i ≡ k ( m o d N ) 2i \equiv k \pmod N 2i≡k(modN))，所以说为何 N B A NBA NBA对于他区比赛不是 N = 15 N=15 N=15连客场，然后 N = 15 N=15 N=15连主场，而是交叉的几场来，这岂不是让运动员有时间嘚瑟了吗
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