最大子序列和问题的四种解法以及解析

问题描述

求取数组中最大连续子序列和，例如给定数组为A={1， 3， -2， 4， -5}，则最大连续子序列和为6，即1+3+（-2）+ 4 = 6。

（一）穷举法no.1

穷举式的尝试所有可能，这里就不多做解释，这里的算法复杂度易得为O（N^3）.

#include<stdio.h>int MaxSubSequenceSum(const int A[], int N){int ThisSum, MaxSum, i, j,k;MaxSum = 0;for(i=0;i < N; i++){for(j=i;j < N;j++){ThisSum = 0;for(k=i;k <= j;k++){ThisSum += A[k];if(ThisSum > MaxSum){MaxSum = ThisSum;}  }}}return MaxSum;
}   int main(){int number[6];int result;for(int i=0;i<6;i++){scanf("%d", &number[i]); //在这里%d后不可以添加\n，因为这会造成编译器会在读取一次\n;}result = MaxSubSequenceSum(number, 6);printf("result = %d\n", result);return 0;
}

（二）穷举法no.2

分析上面的算法可知，在上述情况下会产生大量重复的运算，譬如在第三层循环中，该算法过分耗时了，所以我们可以通过撤销一个for循环，来降低上述的算法的复杂度。因为消除了一个for循环，所以也易得上述算法复杂度为O(N^2)。

#include<stdio.h>int MaxSubSequenceSum(const int A[], int N){int ThisSum, MaxSum, i, j,k;MaxSum = 0;for(i=0;i < N; i++){ThisSum = 0;for(j=i;j < N;j++){ThisSum += A[j];if(ThisSum > MaxSum){MaxSum = ThisSum;}}}return MaxSum;
}   int main(){int number[6];int result;for(int i=0;i<6;i++){scanf("%d", &number[i]); //在这里%d后不可以添加\n，因为这会造成编译器会在读取一次\n;}result = MaxSubSequenceSum(number, 6);printf("result = %d\n", result);return 0;
}

（三）递归以及分治法

让我们按照这样的思路进行思考?。在上述问题中，最大子序列的和只可能在三处地方出现（需要先将所有输入分为两个部分，左半部分亦或右半部分）。即或者整个出现在输入数据的左半部分，或整个出现在输入数据的右半部分，或者整个跨越输入数据的中部从而占据左右两半部分。前两中情况我们可以采用递归求解的方式，而第三种情况的最大和可以通过求出前半部分的最大和（包含前半部分的最后一个元素）以及后半部分的最大和（包含后半部分的最后一个元素）而得到。然后将这两个和加在一起，即为第三中情况之和。易知，分治法的复杂度为O(logn)，又因为for循环最多只有一层，虽然存在两次，所以该算法的复杂度为O(NlogN)。

#include <stdio.h>static int MaxSubSum(const int A[], int Left, int Right){int MaxLeftSum, MaxRightSum;int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum;int LeftBorderSum, RightBorderSum;int Center, i;if(Left == Right){if (A[Left]>0){return A[Left];}else{return 0;}}Center = (Right + Left)/2;MaxLeftSum = MaxSubSum(A, Left, Center);MaxRightSum = MaxSubSum(A, Center+1, Right);MaxLeftBorderSum = 0; MaxRightBorderSum = 0;for (i = Center; i >= Left; i--){LeftBorderSum += A[i];if (LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum){MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;}}for (i = Center+1; i <= Right; i++){RightBorderSum += A[i];if (RightBorderSum > MaxRightBorderSum){MaxRightBorderSum = RightBorderSum;}}return Max3(MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxRightBorderSum + MaxLeftBorderSum);
}   int MaxSubSequenceSum(const int A[ ], int N){return MaxSubSum(A, 0, N-1);}int main(){int number[6];int result;for(int i=0;i<6;i++){scanf("%d", &number[i]); //在这里%d后不可以添加\n，因为这会造成编译器会在读取一次\n;}result = MaxSubSequenceSum(number, 6);printf("result = %d\n", result);return 0;
}

（四）联机算法

该算法只对数据进行一次扫描，一旦A[ i ]被读入并被处理，它就不再需要被记忆。分析该算法容易知道，因为该问题不需要最大序列和的坐标输出，所以我们不需要记忆序列位置，仅仅记忆当前最大序列和的值即可。并且该问题又是线性相加，不存在错位相加，所以使用该算法就可以在复杂度为O(N)下得到，下面看代码。

#include <stdio.h>int MaxSubSequenceSum(const int A[ ], int N){int ThisSum, MaxSum, j;ThisSum = MaxSum = 0;for (j= 0; j < N; j++){ThisSum += A[j];if (ThisSum > MaxSum){MaxSum = ThisSum;}else if(ThisSum < 0){ThisSum = 0;}}return MaxSum;}int main(){int number[6]; //这里自己设置int result;for(int i=0;i<6;i++){scanf("%d", &number[i]); //在这里%d后不可以添加\n，因为这会造成编译器会在读取一次\n;}result = MaxSubSequenceSum(number, 6);printf("result = %d\n", result);return 0;
}

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