BZOJ2085 POI2010 Hamsters

POI2010 题解整理

Description

给定 N(N<=200) N(N个总长度小于 105 10^5的字符串，要求给出一条字符串，其中至少出现 m(m<=109) m(m次上述给定的字符串（必须是其子串）。保证N各字符串两两不互相包含。求最短的字母序列的长度。

Input

第一行n和m，n表示有多少个仓鼠，m表示Tz希望出现名字的次数.。

接下来n行，每行都是仓鼠的名字（中间没有空格）。

Output

输出一行，最短的字母序列的长度。

Sample Input

4 5
monika
tomek
szymon
bernard

Sample Output

23

这回基本是对着po大犇的代码敲起来了，负责任地标成转载。

Solution Solution：

首先对于这种字符串衔接的问题，我们一般预先处理出 f[i][j] f[i][j]，表示在 i i后面接上jj需要的代价。但如果直接暴力匹配过来， O(N4) O(N^4)的复杂度就有点吃不消了。所以我们采用Hash优化一维 O(N) O(N)。

在枚举长度的部分似乎并不是 O(N) O(N)，然后可能会导致T？由于对于字符串 stri str_i与 strj str_j，如果为了让复杂度尽可能大，则两个字符串必须没有衔接部分，此时一次操作的时间复杂度为 O(min(isize,jsize)) O(min(i_{size},j_{size}))，总复杂度可以近似看成

O(∑i=1Nmin(isize,jsize)∗N)≈O(MN)

O(\sum_{i=1}^{N}min(i_{size},j_{size})*N)\approx O(MN)所以复杂度不会导致T的，可以直接上去搞。

但此时又遇到一个问题，发现如果直接对每个字符串都开一个Hash数组，Hash是存不下的，同样如果直接开字符数组，空间复杂度仍然吃不消。显然我们会考虑用string和vector，但是常数问题……（~~内网神TM开2s~~）所以学习了Po大犇的指针写法，硬生生卡进了1s。

然后说实在话我就不清楚接下来怎么写了，我写的时候一直在想其他的东西。

构造出上述 f[i][j] f[i][j]很显然我们是要跑类似于最短路一类的算法的，题目中的“m次出现”应该转化成经过m条路。即题目转化为：

给定一张正权值图（所以上述处理 i→i i\to i的情况时不能从最大长度开始枚举），从起点开始要求在图上经过 m m条边，求最短的路径权值总和。

如果跑一般算法就是找到当经过路径数量已经为m后的最小解，复杂度会是类似于O(NMlogN)O(NMlogN)这种的，显然不行。但是，当跑过一些路径到达某个点node时，这个点之后走step步的最短距离与之前的行走是无关的，即满足无后向性。此时我们就可以使用倍增 Floyd Floyd去优化算法了：

定义 f[k][i][j] f[k][i][j]为 i→j i\to j且经过 2k 2^k条路的最短路径值。按照倍增的惯例思想，将m可以拆成不同的 2k 2^k，对于不同的路径权值跑一遍 Floyd Floyd即可。那么此处复杂度为 O(N3logM) O(N^3logM)。

总结一下倍增 Floyd Floyd：

求“经过该图M条边的最值”类型的题可以使用倍增 Floyd Floyd，此时为了Floyd，必须满足这个图满足无后向性，即前面走过的路径不会影响接下来的求值。

~~又get了一个倍增新用法~~。

#include<bits/stdc++.h>
#define M 202
#define N 200002
#define B 233
#define P 1000000009
#define oo 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll
#define inf 0x3f
using namespace std;
int n,m,len[M];
char str[N],*s[M];
int _hash[N],*Hash[M],Base[N];
long long f[M][M],g[M][M],ans[M][M];
int getHash(int *Hash,int L,int R){return (Hash[R]-1LL*Hash[L-1]*Base[R-L+1]%P+P)%P;
}
int calc(int x,int y){for(int i=min(len[x],len[y])-(len[y]<=len[x]);~i;--i)if(getHash(Hash[x],len[x]-i,len[x]-1)==getHash(Hash[y],0,i-1))return i;return 0;
}
int main(){scanf("%d %d",&n,&m);int temp=1,max_len=0;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%s",str+temp);s[i]=str+temp;Hash[i]=_hash+temp;len[i]=strlen(s[i]);//范围[temp,temp+len+1)if(len[i]>max_len)max_len=len[i];temp+=len[i]+1;for(int j=0;j<len[i];j++)Hash[i][j]=(1LL*Hash[i][j-1]*B+s[i][j])%P;//指针访问}Base[0]=1;for(int i=1;i<=max_len;i++)Base[i]=1LL*Base[i-1]*B%P;memset(f,inf,sizeof(f));for(int i=1;i<=n;i++){f[0][i]=len[i];for(int j=1;j<=n;j++)f[i][j]=len[j]-calc(i,j);}memset(ans,inf,sizeof(ans));for(int i=1;i<=n;i++)ans[i][i]=0;if(m&1){memset(g,inf,sizeof(g));for(int k=0;k<=n;k++)for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=n;j++)if(g[i][j]>f[i][k]+ans[k][j])g[i][j]=f[i][k]+ans[k][j];memcpy(ans,g,sizeof(ans));}for(int step=1;(1<<step)<=m;++step){memset(g,inf,sizeof(g));for(int k=0;k<=n;k++)for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=n;j++)if(g[i][j]>f[i][k]+f[k][j])g[i][j]=f[i][k]+f[k][j];memcpy(f,g,sizeof(f));//倍增一遍if(m>>step&1){memset(g,inf,sizeof(g));for(int k=0;k<=n;k++)for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=n;j++)if(g[i][j]>f[i][k]+ans[k][j])g[i][j]=f[i][k]+ans[k][j];memcpy(ans,g,sizeof(ans));}}long long Ans=oo;for(int i=1;i<=n;++i)Ans=min(Ans,ans[0][i]);cout<<Ans<<endl;
}

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