线性因子模型（Liner Factor Model）助你预测收益率

收益率预测模型中常用到线性因子模型，其是通过线性等式的关系，将有限个数的因子与资产的收益率或者价值联系在一起。本文通过因子线性模型介绍了著名的夏普单指数模型与多因子模型，并介绍了常用的因子种类。

线性因子模型的提出

单因子模型，通俗的说，假如某件事情的发生仅用一个因子便可解释，这样建立的模型就可以称作单因子模型。比如说，今天下雨，很可能是因为水汽的积累太多了，那么是否下雨只受到空气中水分含量这个因子的影响，通过观察水分含量，就可以对是否下雨有个判断。仅靠水分含量因子影响的模型就可以称作为单因子模型。

但是在实际运用当中，只靠水分含量这个观测量，无法对是否下雨做到完全准确的预测。那么除此之外再添加一些比如地形、季节等因子，结果应该会更加准确。但是即便加入地形、季节这些因子，也并不完全确定是多因子模型。是否为多因子模型，还要知道因子是否为直接相关因子，如果通过检验发现其因果关系较强时，便可称之为多因子模型。

金融定价中的单因子模型，是由威廉·夏普于1963年，在西雅图华盛顿大学发表的《对于“资产组合”分析的简化模型》中正式提出的。而此篇文章，也是之后CAPM理论（资本资产定价模型）的重要基础之一。其中，夏普所用到的单因子就是市场因子（整体市场表现），其被解释变量便是各资产的收益率。

诚然，大盘决定了股市整体的情绪和大部分股票的收益，但是由于其他原因，牛市中依然有萎靡的个股，熊市里也会有着走强的个股。和希望准确预测天气一样，许多人也在探索更准确地预测收益率的方法。和前者思路大致相同，也是加入更多的影响因子，来解释收益率，从而去预测收益率。

基于市场现状决定收益的实际缺陷，斯蒂芬·罗斯于1967年在《经济理论杂志》上发表了经典论文“资本资产定价的套利理论”（APT），并根据无套利原则，得到风险资产均衡收益与多个因子之间存在（近似的）线性关系，提出多因子线性定价模型，从而更加完善了收益率预测体系。

下面就让我们来具体看看线性单因子模型和线性多因子模型吧。

内容和定义

普通因子模型的假设为：证券的收益率与因子表现线性相关。比如接下来提到的夏普单指数模型（Single Index Model），便是认为证券的收益率与全市场表现相关。

单因子模型（Single Index Model）

夏普提出单因子模型的基本思想是：当市场股价指数上升时，市场中大量的股票价格走高；相反，当市场指数下滑时，大量股票价格趋于下跌。据此，可以利用一种证券的收益率和股价指数的收益率的相关关系得出以下模型：

等式的左边，为在t时间点上，证券i的收益率

右边第一项为截距，也就是无法解释的残差均值，其理论上与上市公司本身基本面有关，与市场整体波动无关的那部分收益。

第二项为市场收益率Rm与其敏感性βi，代表市场指数的波动对第i个证券收益率的影响程度。

第三项即为实际收益率与估算值之间的残差。一般情况下残差平方和越小，代表这个模型效果越好。

以上的单因子模型被称作夏普单指数模型，该模型的单因子为市场收益率，其中的βi可以与CAPM中的贝塔系数相似，用来衡量个别股票或股票基金相对于整个股市的价格波动情况。若将该模型中的替换为其他的因子，也就成了一般形式的单因子模型。

多因子模型(Multi-Factor Models)

一般形式下的多因子模型数学表达式如下：

（2）中第一项和最后一项与（1）一致，中间项均为解释因子。其中，
是K个因子在t期的值，是证券i对于第K个因子的敏感性。

在加入适当的因子之后，多因子模型可以得到比单因子模型更好的预测效果。那么我们该如何获取对应的因子呢？

我们把因子划分为几大类，并从中获取对应合适的因子。

如图所示，多因子模型可分为基本面因素模型和经济因素模型。

其中基本面因子大多数为，市盈率，市净率、EPS增长率等因子，通常能代表公司的盈利状况、财务状况和发展前景。

经济因素模型中，宏观经济因子比如有通货膨胀率、长期利率等，加入到多因子模型中可以获取对应证券对宏观经济情况的敏感性。技术面指标，如动量、换手率、波动等，代表的是近来股价的走势情况和热度。还有一些因子诸如预期收益增长、分析师一致预期变化等，通过其建模可以反映出大众预期情况会对收益率的影响程度。

通过将这些因子添加入多因子模型当中进行建模，可以得到预测能力更强的收益率预测模型。但是如果添加过多的因子（比如全部），会产生过拟合问题，也就是在建模样本中预测表现结果非常好，而一旦用在未来的数据上，就会出现较大的预期偏差。所以我们需要通过科学的方法来获取有效的因子，再进行建模。

局限与改进

上述因子模型都是建立在线性回归模型下的，这难免会遇到诸如数据量纲或多重共线性等问题。但是只要基于“收益率会被某些因子从某种程度上解释”这一重要假设成立，我们仍有许多较为科学的方法来对模型进行改善，如通过标准化的方法对因子的范围进行修正。

在下一篇文章中，我们将进一步为大家带来因子模型的建模方法。

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