置换矩阵的应用：逆矩阵的对角线元素求法

置换矩阵是一种非常实用的数学工具，其确切定义如下：

一个正方矩阵，若其每一行和每一列有且仅有一个非零元素111，则称之为置换矩阵。

顾名思义，其作用是：

当将某一矩阵左乘置换矩阵，相当于将矩阵的行重新排列。而右乘置换矩阵，则相当于对列重新排列。

因此，当我们想对矩阵的行或列重新排列时，就可以等效地将其写为左/右乘置换矩阵的形式。插一句题外话，对某矩阵左乘一个对角阵，相当于对其每一行都分别乘上对应的对角元素。右乘一个对角阵，则相当于每一列乘上一个对角元素。因此，左乘代表对行操作，右乘代表对列操作。

以一个实例来说明，假设有如下矩阵：

A=[a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44a51a52a53a54]A=\left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} \end{array}\right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a11a21a31a41a51a12a22a32a42a52a13a23a33a43a53a14a24a34a44a54⎦⎥⎥⎥⎥⎤

和置换矩阵
P4=[0001010010000010]\boldsymbol{P}_{4}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] P4=⎣⎢⎢⎡0010010000011000⎦⎥⎥⎤
那么我们有:
AP4=[a13a12a14a11a23a22a24a21a33a32a34a31a43a42a44a41a53a52a54a51]A P_{4}=\left[\begin{array}{llll} a_{13} & a_{12} & a_{14} & a_{11} \\ a_{23} & a_{22} & a_{24} & a_{21} \\ a_{33} & a_{32} & a_{34} & a_{31} \\ a_{43} & a_{42} & a_{44} & a_{41} \\ a_{53} & a_{52} & a_{54} & a_{51} \end{array}\right] AP4=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a13a23a33a43a53a12a22a32a42a52a14a24a34a44a54a11a21a31a41a51⎦⎥⎥⎥⎥⎤

注意到，AP4AP_4AP4事实上就是将原矩阵AAA中的列的顺序重新调换后的结果。我们再来看看这是如何操作的：首先可以将A写为：
A=[a1,a2,a3,a4]A = [a_1,a_2,a_3,a_4]A=[a1,a2,a3,a4]
其中ana_nan分别代表第nnn列。那么，根据线性代数基本知识，可知，AP4AP_4AP4的第一列由Ap1Ap_1Ap1给出，其中p1p_1p1代表P4P_4P4的第一列，也即：
[a1,a2,a3,a4][0010]=a3[a_1,a_2,a_3,a_4]\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right] =a_3[a1,a2,a3,a4]⎣⎢⎢⎡0010⎦⎥⎥⎤=a3
因此，AP4AP_4AP4的第一列就是AAA的第三列。其他列的结果可类似得出。好，我们可以发现其中的规律：

右乘置换矩阵的第nnn列的非零元素在第mmm行，则代表将第mmm列换到第nnn列。比如P4P_4P4第一列的1元素在第三行，因此就将AAA的第3列换到第1列。这也就是为什么置换矩阵的定义中，要求每一行，每一列均只有一个1的原因，只有这样才能保证最后的结果是将AAA矩阵的列进行调换。

类似的，假如有：
P5=[0000100100010000001010000]P_{5}=\left[\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] P5=⎣⎢⎢⎢⎢⎡0000100100010000001010000⎦⎥⎥⎥⎥⎤
则有：
P5A=[a51a52a53a54a31a32a33a34a21a22a23a24a41a42a43a44a11a12a13a14]P_{5} A=\left[\begin{array}{llll} a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \end{array}\right] P5A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a51a31a21a41a11a52a32a22a42a12a53a33a23a43a13a54a34a24a44a14⎦⎥⎥⎥⎥⎤
其操作与右乘置换矩阵时类似。对于左乘的置换矩阵，第nnn行的非零元素在第mmm列，则代表将第mmm行调换到第nnn行。

接下来介绍下置换矩阵的几个性质，对后面的推导将有所帮助：

PTP=PPT=IP^TP=PP^T=IPTP=PPT=I，也就是说，置换矩阵是正交矩阵。因此我们也可知P−1=PTP^{-1}=P^TP−1=PT。这也就是说，如果我们通过PPP矩阵调换了行列的顺序，我们可以通过乘以其转置，将行列顺序复原。
PTAPP^TAPPTAP与AAA的对角线元素相同，但顺序可能不同。

接下来，我们讨论问题，如何求出逆矩阵(ATA)−1(A^TA)^{-1}(ATA)−1的对角元素结果？

先给出结论为：

[(ATA)−1]nn=1anTan−anTAn(AnTAn)−1AnTan\left[\left(\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}\right)^{-1}\right]_{n n}=\frac{1}{\mathbf{a}_{n}^{T} \mathbf{a}_{n}-\mathbf{a}_{n}^{T} \mathbf{A}_{n}\left(\mathbf{A}_{n}^{T} \mathbf{A}_{n}\right)^{-1} \mathbf{A}_{n}^{T} \mathbf{a}_{n}} [(ATA)−1]nn=anTan−anTAn(AnTAn)−1AnTan1

ana_nan代表矩阵AAA的第nnn列。

我们不妨先考虑最后一个对角元素的求取。将AAA矩阵写为：A=[Anan]A=\left[\begin{array}{ll}A_{n} & a_{n}\end{array}\right]A=[Anan]，因此
ATA=[AnTAnAnTananTAnanTan]A^{T} A=\left[\begin{array}{cc} A_{n}^{T} A_{n} & A_{n}^{T} a_{n} \\ a_{n}^{T} A_{n} & a_{n}^{T} a_{n} \end{array}\right] ATA=[AnTAnanTAnAnTananTan]
此时，我们利用块对角矩阵求逆公式，即：
[AUVD]−1=[A−1+A−1U(D−VA−1U)−1VA−1−A−1U(D−VA−1U)−1−(D−VA−1U)−1VA−1(D−VA−1U)−1]\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{U} \\ \boldsymbol{V} & \boldsymbol{D} \end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}\left(\boldsymbol{D}-\boldsymbol{V} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}\right)^{-1} \boldsymbol{V} \boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}\left(\boldsymbol{D}-\boldsymbol{V} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}\right)^{-1} \\ -\left(\boldsymbol{D}-\boldsymbol{V} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}\right)^{-1} \boldsymbol{V} \boldsymbol{A}^{-1} & \left(\boldsymbol{D}-\boldsymbol{V} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}\right)^{-1} \end{array}\right] [AVUD]−1=[A−1+A−1U(D−VA−1U)−1VA−1−(D−VA−1U)−1VA−1−A−1U(D−VA−1U)−1(D−VA−1U)−1]
由于我们只关心最后一个对角元素，因此只考虑(D−VA−1U)−1\left(\boldsymbol{D}-\boldsymbol{V} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}\right)^{-1}(D−VA−1U)−1这一项，我们把 D=anTanD=a_n^Ta_nD=anTan，V=anTAnV=a_n^TA_nV=anTAn，U=AnTanU=A_n^Ta_nU=AnTan和A=AnTAnA=A_n^TA_nA=AnTAn代入，即可得到：
[(ATA)−1]nn=1anTan−anTAn(AnTAn)−1AnTan\left[\left(\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}\right)^{-1}\right]_{n n}=\frac{1}{\mathbf{a}_{n}^{T} \mathbf{a}_{n}-\mathbf{a}_{n}^{T} \mathbf{A}_{n}\left(\mathbf{A}_{n}^{T} \mathbf{A}_{n}\right)^{-1} \mathbf{A}_{n}^{T} \mathbf{a}_{n}} [(ATA)−1]nn=anTan−anTAn(AnTAn)−1AnTan1
因此，最后一个对角元素的取值得到了证明。接下来，考虑一般情况，假设要求取第iii个对角元素。显然，存在置换矩阵PPP，有:
AP=[Ai,ai]AP = [A_i, a_i]AP=[Ai,ai]
即将AAA的第iii列aia_iai调换到最后一列，而将最后一列调换到第iii列，其他列均不变。因此有：
[(PTATAP)−1]nn=1aiTai−aiTAi(AiTAi)−1AiTai[(P^TA^TAP)^{-1}]_{nn} =\frac{1}{\mathbf{a}_{i}^{T} \mathbf{a}_{i}-\mathbf{a}_{i}^{T} \mathbf{A}_{i}\left(\mathbf{A}_{i}^{T} \mathbf{A}_{i}\right)^{-1} \mathbf{A}_{i}^{T} \mathbf{a}_{i}}[(PTATAP)−1]nn=aiTai−aiTAi(AiTAi)−1AiTai1
此时注意到：根据P−1=PTP^{-1}=P^TP−1=PT，我们有：
(PTATAP)−1=PT(ATA)−1P(P^TA^TAP)^{-1}=P^T(A^TA)^{-1}P(PTATAP)−1=PT(ATA)−1P
也就是说，(PTATAP)−1(P^TA^TAP)^{-1}(PTATAP)−1是将(ATA)−1(A^TA)^{-1}(ATA)−1的第iii列与最后一列调换，第iii行与最后一行调换后的结果。换言之，我们刚刚求取的(PTATAP)−1(P^TA^TAP)^{-1}(PTATAP)−1的最后一个对角元素就是(ATA)−1(A^TA)^{-1}(ATA)−1的第iii个对角元素！因此，得证。

对此其实我们也可以看出：

调换顺序后求逆，等价于求逆后再调换顺序，不过前提是形式应为(ATA)−1(A^TA)^{-1}(ATA)−1。

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