已知：原矩阵为

Ax=0

Ax=0的求解步骤：

1，先把原始矩阵A化简到最简阶梯形R，主元为1，主元上方也全部消除为0。

2，在R矩阵中确定主元列和主元变量，自由列和自由变量。确定方程组的秩R和特解的个数=n-r（对于mxn矩阵而言）。

3，逐一令一个自由变量为1，剩下的自由变量为0，代入方程组Rx=0并求解。

4，每执行一次第三步操作，就会得到一个对应的特解，最终得到n-r个特解(special solution)。Ax=0的解就是这n-r个特解的线性组合。

令自由变量为任意数的解法：

令自由变量为代数的解法：

消元得到最简阶梯型R以后，把矩阵R用方程表示，求出主元变量x1和x2。

Ax=b

Ax=b的求解步骤：

1,对原始矩阵A消元，得到阶梯型矩阵U。（注意：U不是最简阶梯型矩阵）。

2，令自由变量为0，求解Ux=c，得到一个的特解。

3，化简Ax=0到最简阶梯型矩阵R，并求出Ax=0的所有解，他是n-r个特解的任意一个线性组合。

4，Ax=b的完整解，等于Ax=b的一个特解加上Ax=0的特解的任意一个线性组合。

令等式右端b为一组任意实数的求解步骤：

令等式右端b为代数的求解步骤：

(全文完)

作者 --- 松下J27

古诗词赏析：

《登鹳雀楼》

王之涣

白日依山尽，黄河入海流。
欲穷千里目，更上一层楼。

鸣谢（参考文献）：

1，Linear Algebra and Its Applications - 4th Edition,Gilbert Strang

(*配图与本文无关*)

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