十二个小球称重问题及其Python实现

一、问题描述

在12个外观完全相同的小球中，有一个与其它球重量不同。如何只用一架天平找到这个球并判断它比其它球轻还是重？最少需要称几次？39个球呢？

二、问题分析

这是一个很经典的信息论问题，最开始的思路是用分组称重的方法，发现每次测量的次数不固定，而且当球数增多时称重次数会明显增加，所以不是次数最优的方法，于是参考了网上编码的方法并做了一点调整。
一共有12个小球，每个小球都可能偏轻或偏重，共有24种可能，其信息量为 log224≈4.58bitlog2⁡24≈4.58bitlog_2⁡24≈4.58bit。利用天平进行称重，天平每次显示结果可能为左倾、右倾或平衡三种，假如出现每种情况的概率相同，则每次称重结果的信息量为 log23≈1.58bitlog2⁡3≈1.58bitlog_2⁡3≈1.58bit。4.58bit1.58bit≈34.58bit1.58bit≈3\frac{4.58bit}{1.58bit}≈3，所以理论上3次称重可以找出质量不同的球并判断出它是偏轻还是偏重。
根据文献The Problem of the Pennies, F. J. Dyson, The Mathematical Gazette , Vol. 30, No. 291 (Oct., 1946), pp. 231-234 的证明可知，N次称重最多可以从3N−323N−32\frac{3^N-3}{2}个小球中找出不同的球，当N=3时可以判断12个小球的质量。

三、算法设计

要以最少次数称重得到结果，则每次称重应获取尽可能多的信息，也就是每次天平称重结果都应包含左倾、右倾、平衡三种可能的情况。于是称重时小球应该分为三堆，特殊小球随机分布于其中一堆，选择两堆置于天平两侧。对此，可以将每个小球进行编码，每次称重时根据编码选择三分之二的小球，对称重结果进行记录，并根据每次称重结果，找出异常小球，

3.1 编码要求

由于天平结果有三种，我们选择 ‘0’,‘1’,‘2’ 三种字符对小球进行编码，12个小球三次可以测出，因此每个小球由三位编码构成，编码应满足以下三个条件：

编码互不相同；
保证编码唯一性，每个编码对应唯一小球。
编码每一位均含有4个‘0’,‘1’,‘2’；
例如12个小球对应12个编码，这12个编码的第一位中‘0’,‘1’,‘2’各出现四次，第二第三位同理。目的是为了保证每次称重小球均分为三份。
每个小球编码对其中的‘0’,‘1’同时取反后，反编码不存在于已编好的序列中。
取反指编码中的‘0’变为‘1’，‘1’变为‘0’。结合前两条，该条件可以保证每个小球至少上一次天平，同时保证根据结果能够正确找出异常小球。

下一节将具体介绍这样编码的原因，以及利用这些编码称重的过程。

3.2 称重方法

每次称重天平结果有左倾、右倾、平衡三种，因此需要三种字符对小球进行编码，这里使用 ‘0’,‘1’,‘2’ ；12个球需要称重三次，则每个编码用三位字符表示。根据小球编码判断每次称重时该小球的位置。第 iii 次称重，选择编码第 i" role="presentation">iii 位为‘0’的小球置于左盘，第 iii 位为‘1’的小球置于右盘，记录天平结果并生成结果序列，为了保证每次称重左右两盘球数相同，编码序列每一位应均包含相同个个数的‘0’,‘1’,‘2’。我们用heavy" role="presentation">heavyheavyheavy表示重球序列，lightlightlight表示轻球序列，序列生成规则如下：

天平结果	可能原因	处理方式
左倾	左盘含有重球	heavyi=0heavyi=0heavy_i = 0
左倾	右盘含有轻球	lighti=1lighti=1light_i = 1
右倾	右盘含有重球	heavyi=1heavyi=1heavy_i = 1
右倾	左盘含有轻球	lighti=0lighti=0light_i = 0
平衡	非标准球不在盘上	heavyi=2heavyi=2heavy_i = 2
平衡	非标准球不在盘上	lighti=2lighti=2light_i = 2

如第1次称重结果为天平右倾，则表明天平右盘含有一个重球，或左盘含有一个轻球，而此时天平右盘小球的第一位编码均为‘1’，左盘小球第一位均为‘0’，因此证明：异常球为重球且第一位为‘1’（heavy1=1heavy1=1heavy_1 = 1），或者异常球为轻球且第一位为‘0’（light1=0light1=0light_1 = 0）。根据该规则三次称重并记录完成后， heavyheavyheavy 与 lightlightlight 均为一个三位的序列，且两个序列第 iii 位或‘0’，‘1’相反，或同时为‘2’，根据编码条件三可知，两个编码不可能同时存在，因此存在的编码所对应的小球即是异常球，且若该编码为 heavy" role="presentation">heavyheavyheavy ，则异常小球偏重，否则偏轻。

3.3 一个例子

以下12个小球中有一个为异常球，下面对小球进行一组可行的编码并通过三次称重将其找出。首先对小球进行编码：

图1. 12个小球及其对应编码

进行第一次称重，将编码第一位为‘0’的小球（1，4，7，10）置于左盘，为‘1’的小球置于右盘（2，5，8，11），称重结果如下：

图2. 第一次称重结果

由于天平左倾，则表明左盘含有重球，或右盘含有轻球：heavy1=0heavy1=0heavy_1 = 0，light1=1light1=1light_1 = 1；

第二次称重，将编码第二位为‘0’的小球置于左盘，为‘1’的置于右盘，结果如下：

图3. 第二次称重结果

天平右倾，则表明右盘含有重球，或左盘含有轻球：heavy2=1heavy2=1heavy_2 = 1，light2=0light2=0light_2 = 0；

第三次称重，将编码第三位为‘0’的小球置于左盘，为‘1’的置于右盘，结果如下：

图4. 第三次称重结果

天平平衡，表示两边都为正常球，异常球第三位编码为‘2’：heavy3=2heavy3=2heavy_3 = 2，light3=2light3=2light_3 = 2

根据三次称重可得出 heavy=012heavy=012heavy=012，light=102light=102light=102，表明可能存在编码为‘012’的重球，或为‘102’的轻球。通过与图1中编码进行比较，发现‘012’对应10号小球，‘102’未对应小球，则证明10号小球偏重。这与称重结果一致。

3.4 编码方式

[原理][1]
在编程实现过程中，如果依照3.1中所列条件直接生成编码难度较大，因此可以引入下面的方法：
首次不同的相邻两个字符如果为01, 12, 20，则称这个编码为正序码，如0101010, 11212120, 220202002均为正序码，若首次不同的字符为10, 21, 02，则为逆序码。将一个正序码中0,1取反后将变为一个逆序码，因此对于一系列N位的正序码（或逆序码）集合，会同时满足条件1,3 。对于N位编码，它的全排列集合中除去平序码（全为0,1或2）后，剩余编码或为正序或为逆序，且正序码与逆序码数量相同，各为一半。由于N位编码的全排列数目为 3N3N3^N，因此它的正序码数目为3N−323N−32\frac{3^N-3}{2}，当 N=3N=3N=3 时，正序码数目为12，因此所有的三位正序码（或逆序码）恰好符合12个小球的编码要求，即为图1所列。
算法
对于一个正序码，若将其中的0换为1、1换为2、2换为0，所得到的编码仍为正序，我们可以根据该特点生成编码。当 N=3N=3N=3 时，首先生成两位编码的全排列集合，在每个编码前补一位0构成三位；再找出其中的正序码，判断方法为令每个编码的后一位减去前一位，当首次非零的值为1或-2时，表示该编码正序，否则为逆序。此时会得到所有首位为0的三位正序码，之后依次将每个编码中的字符按上述特点进行变换，并将新编码加入编码集合直到编码重复为止，至此将得到所有三位正序码。

四、算法推广

4.1 称重方法

以上方法可以完成12个小球的称重，进一步思考可知，3.1中规定的条件3是为了根据编码唯一确定异常小球的编号，条件2是为了保证每次称量时天平两边球数相等，因此可以修改条件2为“编码每一位所含‘0’,‘1’的数量相等”。在调整编码条件后，只要编码同时满足上述三个条件，仍然可以完成称量。此时该算法可推广至球数为3的倍数的情况。

当球数不为3的倍数时，小球编码无法满足条件2，这将导致称重过程中左右两盘球数可能不同，无法完成称重。对于这种情况，可以采用补充法或去除法来解决，即当两个盘球数不等时，从球数多的盘中取出多余的标准球或将若干标准球放入球数少的盘。而标准球可以从第一次称重结果中获取，这时只需满足第一次称重左右两盘球数相同即可。
以补充法为例：当总球数除以3余1时，对于整除部分采用上述3的倍数进行编码，多余一个球的编码在满足条件1,3的同时，使其首位编码为2即可；当总球数除以3余2时，使多余两个球首位编码分别为0,1即可。由此该算法可推广至球数大于3的所有情况。

4.2 编码方法

3.4的算法是针对12个小球提出的，但稍加改进即可用于球数为3的倍数或者更广的情况。对于N位全排列编码，每一位均累计有 3N33N3\frac{3^N}{3} 个0,1或2，去除其中平序码后，每位均有 3N3−33N3−3\frac{3^N}{3}-3 个0,1,2，而对于所有正序码（或逆序码）而言，他们每一位均有 3N−363N−36\frac{3^N-3}{6} 个0,1,2，显然0,1的数量是相等的，因此符合上述三个条件的编码可以从N位正序码中获得。

当球数为3的倍数时，首先根据问题分析中的方法计算所需称重次数，即小球编码位数N；之后生成N-1位编码的全排列集合，在每位编码前补0构成N位，删去其中的非正序码；此时得到所有首位为0的N位正序码，取其中一个进行两次轮换，将三个编码（每一位分别为0,1,2）并分别对应前三个小球，再取下一个进行两次轮换，对应之后三个小球，重复该步骤直到每个小球均对应一个编码为止，此时小球编码符合三个条件，可以进行称重。
当球数不为3的倍数时，同样先计算称重次数N，并生成所有首位为0的N位正序码，之后对3的整数倍的小球利用上述方法进行编码。当余下一个小球时，取下一个编码轮换两次之后首位为2的编码与之对应；余下两个小球时，取下一个首位为0的编码以及它轮换一次后首位为1的编码分别对应，此时可以运用补充法或去除法进行称重。

五、小结

这是去年信息论的一份作业，方法上借鉴了很多网上大神的想法，但应该是我用Python写的第一个比较复杂的项目，而且展示时候的效果还不错，所以感觉还是蛮有意义的。核心的地方应该还是生成正序编码部分，花的时间最长，主要思路是生成N-1位的全排列编码—>前面补0—>选出正序部分，生成全排列的时候用到了递归，复杂度比较高，而且写得很复杂，后面发现其实也可以用十进制和三进制转化来的，应该会简洁很多。当初前后写了三个版本，分别是12个球的、3的倍数的、任意球数的，这里把任意球数的代码贴在下面，欢迎讨论。

import random
#导入随机数模块，用于随机产生质量不同的小球def InputBallnum():#输入球数，并计算所需称重次数，返回球数，称重次数，除以三的余数n = eval(input("请输入球数 >> "))while not isinstance(n,int):n = eval(input("输入有误，请重新输入 >> "))m = n%3for times in range(n):if (3**times-3)/2 >= n:print("%d个球%d次可以完成称重！"%(n,times))print() return times,n,mdef StarCode(t):#输入称重次数即编码位数t，返回所有t位首位为0的正序编码if t >= 3:star = ['0','1','2']        #初始化列表，元素为三进制的三个字符str1 = Make_Num(t-2,star)   #产生一个t-1位由0,1,2组成的所有编码组合的列表for i in range(len(str1)):str1[i] = '0'+str1[i]   #在t位所有编码前添加一个0for string in str1[:]:#从列表中排除所有非正序的编码for i in range(t-1):if (int(string[i+1]) - int(string[i]) == 1) or (int(string[i+1]) - int(string[i])) == -2:#后一个数字减前一个数字为1或-2，则该编码为正序breakelif (int(string[i+1]) - int(string[i]) == -1) or ((int(string[i+1]) - int(string[i])) == 2) or ((i == t-2) and (int(string[i+1]) - int(string[i])) == 0):#后一个数字减前一个数字为-1或2，或所有数字相同，则该序列非正序str1.remove(string)breakreturn str1else:return star def Make_Num(n,list):#利用递归调用生成n+1位由0,1,2组成的所有编码组合的列表if n:for i in range(len(list)):for j in range(3):list.append(list[i]+str(j))for i in range(int(len(list)/4)):list.remove(list[0])Make_Num(n-1,list)return listdef FinalCode(n,list,m):#输入球数n，首位为0的t位正序码列表，余数，返回n个符合条件的正序码#该步骤为将0替换为1，1替换为2,2替换为0，并将新编码加入列表if m == 0:t = n//3else:t = n//3 + 1templist = []for i in range(t):templist.append(list[i])temp1 = temp2 = ''for j in range(len(list[0])):#第一层替换l = int(list[i][j])+1if l == 3:l = 0temp1 += str(l)for k in range(len(temp1)):#第二层替换ll = int(temp1[k]) + 1if ll == 3:ll = 0temp2 += str(ll)templist.append(temp1)templist.append(temp2)return templistdef SetBall(n,list,m):#生成表示小球的列表并返回，元素分别为编号、质量、编码ball = []for i in range(n-m):fig = '('+str(i+1)+')'  #小球编号表示如"(10)"#按顺序将以上产生的正序编码赋给每个小球，质量设为10ball.append([fig,10,list[i]])if m == 1:#当球数非三的倍数时，需额外生成多余的小球ball.append(['('+str(n-m+1)+')',10,list[-1]])elif m == 2:ball.append(['('+str(n-m+1)+')',10,list[-3]])ball.append(['('+str(n-m+2)+')',10,list[-2]])return balldef ChangeWeight(list):#改变一个小球的质量，手动输入或随机生成n = len(list)select = input("手动选择(Y)或随机生成(N)质量不同的球 >> ")while select not in 'YyNn':select = input("输入有误！请重新输入 >> ")if select == 'Y' or select == 'y':num = int(input("请在1~%d中选择一个球，改变其质量 >> "%n))while num not in range(1,n+1):num = int(input("输入有误！请重新选择 >> "))weit = eval(input("请选择增加质量(1)或减少质量(-1) >> "))while weit != 1 and weit != -1:weit = eval(input("输入有误！请重新输入 >>　"))list[num-1][1] += weitelif select == 'N' or select =='n':#随机取一个小球，将其质量+1或-1list[random.randint(0,n-1)][1] += random.choice([1,-1])return listdef Weight(n,list):#对球按编码进行称重,第i次取第i位编码为0和1的小球并分别置于左右两盘，#即每次称重左盘均表示0，右盘为1，根据每次称重天平的结果（轻、重、平#衡）添加对应编码print()print("============================以下为称量结果============================")print()model = []      #生成标准球列表light = heavy = ''print("第1次称重结果为: ")left = right = 0        #每次称重前将左右两盘清空fig_left = fig_right = ''   #编号清空for j in range(len(list)):#遍历每一个小球if (list[j][2][0] == '0'):#判断第j个小球编码的第1位是否为0，若是将质量加于左盘，记录编号left += list[j][1]  fig_left += list[j][0]elif (list[j][2][0] == '1'):#判断第j个小球编码的第1位是否为1，若是将质量加于右盘，记录编号right += list[j][1]fig_right += list[j][0]else:continueif left == right:#若天平平衡，轻编码添加2，重编码添加2，打印称重结果，将盘中所有球#设为标准球light += '2' heavy += '2'print(fig_left,"=",fig_right)for k in range(len(list)):if list[k][2][0] == '0' or list[k][2][0] == '1':model.append(list[k])print()elif left < right:#若天平左倾，轻编码添加0，重编码添加1，打印称重结果，将盘外所有球#设为标准球light += '0'heavy += '1'print(fig_left,"<",fig_right)for k in range(len(list)):if list[k][2][0] == '2':model.append(list[k])print()else: #若天平右倾，轻编码添加1，重编码添加0，打印称重结果，将盘外所有球#设为标准球light += '1'heavy += '0'print(fig_left,">",fig_right)for k in range(len(list)):if list[k][2][0] == '2':model.append(list[k])print()print('轻球编码为：'+ light,'或重球编码为：'+ heavy)a = input()for i in range(1,n):ball_temp = []print("第%d次称重结果为: "%(i+1))left = right = 0    #每次称重前将左右两盘清空count_l = count_r = 0  #用于对盘中小球计数fig_left = fig_right = ''   #清空编号for j in range(len(list)):#遍历每一个小球if (list[j][2][i] == '0'):#判断第j个小球编码的第i位是否为0，若是将质量加于左盘，记录编号#左盘球数加一ball_temp.append(list[j])left += list[j][1]  fig_left += list[j][0]count_l += 1elif (list[j][2][i] == '1'):#判断第j个小球编码的第i位是否为1，若是将质量加于右盘，记录编号#右盘球数加一ball_temp.append(list[j])right += list[j][1]fig_right += list[j][0]count_r += 1elif (list[j][2][i] == '2'):continueif count_l < count_r:#若右盘球数多余左盘，则将一个标准球加于左盘for k in model:#检查标准球是否已在盘中if k not in ball_temp:left += k[1]fig_left += k[0]breakelif count_l > count_r:for k in model:if k not in ball_temp:right += k[1]fig_right += k[0]breakif left < right:#若天平左倾，轻编码添加0，重编码添加1，打印称重结果light += '0'heavy += '1'print(fig_left,"<",fig_right)print()elif left > right:#若天平右倾，轻编码添加1，重编码添加0，打印称重结果light += '1'heavy += '0'print(fig_left,">",fig_right)print()elif left == right:#若天平平衡，轻编码添加2，重编码添加2，打印称重结果light += '2' heavy += '2'print(fig_left,"=",fig_right)print()print('轻球编码为：'+ light,'或重球编码为：'+ heavy)print()a = input()print()return light , heavydef CompareWeight(light,heavy,list):#根据轻重编码查找对应小球n = len(list)for i in range(n):if light in list[i]:print("对比小球编码可知：球 %s 较轻"%(list[i][0]))if heavy in list[i]:print("对比小球编码可知：球 %s 较重"%(list[i][0]))a = input()def PrintCode(list):#打印所有小球编号及其编码，用于对比实验结果print()print("===========================以下为各球编码===========================")print()n = len(list)for i in range(n):print(list[i][0],":",list[i][2])def PrintWeight(list):#打印所有小球编号及其质量，用于对比实验结果print()print("=========================以下为各球实际质量=========================")print()n = len(list)for i in range(n):print(list[i][0],":",list[i][1])def main():#输入球数，并计算所需称重次数,球数除以三所得余数n_times,n_balls,n_remain = InputBallnum()#根据称重次数产生一个编码序列Star_Code = StarCode(n_times)Fina_Code = FinalCode(n_balls,Star_Code,n_remain)#根据以上编码序列生成一个表示小球的列表，元素包含小球编码、质量、标号init_ball = SetBall(n_balls,Fina_Code,n_remain)#改变一个小球的质量，手动输入或随机生成ball = ChangeWeight(init_ball) #打印小球编码PrintCode(ball)a = input()#根据编码逐次称重、返回称重结果的编码light, heavy = Weight(n_times,ball) #将结果编码与小球编码进行对比，找出质量不同的小球，打印其编号CompareWeight(light,heavy,ball)#打印所有小球编号及其质量PrintWeight(ball)a = input()main()

参考资料

[1] https://funnyjs.com/ballweight/
[2] https://www.zhihu.com/question/23505253