AcWing1012_友好城市

文章目录

1. 题目描述
2. 解题思路
3. 代码实现
4. 时间复杂度

题目链接：AcWing1012.友好城市

1. 题目描述

Palmia国有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置各不相同的 NNN 个城市。

北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。

每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，以避免事故。

编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航线不相交的情况下，被批准的申请尽量多。

输入格式
第 111 行，一个整数 NNN ，表示城市数。

第 222 行到第 n+1n+1n+1 行，每行两个整数，中间用 111 个空格隔开，分别表示南岸和北岸的一对友好城市的坐标。

输出格式
仅一行，输出一个整数，表示政府所能批准的最多申请数。

数据范围
1≤N≤50001 \leq N \leq 50001≤N≤5000,
0≤xi≤100000 \leq x_i \leq 100000≤xi≤10000

输入样例：

输出样例：

2. 解题思路

条件1：每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。
条件2：每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市、政府决定避免任意两条航道交叉。（任意两条航线不相交）
目标：被批准的申请尽量多。

假设城市用x和一些大写字母表示：(城市的位置是乱序的，不是按顺序排好的)

北岸：x x x x x x A x x x B …
南岸：x x x D x x C x x x x …

其中 AAA 和 CCC 是友好城市，BBB 和 DDD 是友好城市。
对南岸的城市位置进行由小到大排序可得：
(1)
北岸：x x x A x x x x B x x …
南岸：x x C D x x x x x x x …

那么，由上面的排序情况可知 ACACAC 和 BDBDBD 都可申请。
若排完序后的结果如下：
(2)
北岸：x x x B x x x x A x x …
南岸：x x C D x x x x x x x …

则只有一个请求可被满足。

由此可见，南岸的城市排完序后，最优方案中北岸的城市一定是单调的，若不单调，则一定有交点，对应于情况(2)。

所以对南岸的城市排完序后，对北岸的城市求一个最长上升子序列即可得到结果。

最长上升子序列的求法可参考：AcWing895_最长上升子序列。

3. 代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef pair<int, int> PII;const int N = 5010;int n;
PII a[N];
int f[N];int main()
{scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i ++ )scanf("%d%d", &a[i].first, &a[i].second);sort(a + 1, a + 1 + n);int res = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){f[i] = 1;for (int j = 1; j < i; j ++ )if (a[j].second < a[i].second)f[i] = max(f[i], f[j] + 1);res = max(res, f[i]);}printf("%d\n", res);return 0;
}

4. 时间复杂度

排序：O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)。
求最长上升子序列：O(n2)O(n^2)O(n2)。
总体：O(n2)O(n^2)O(n2)。