非线性系统的跳跃（jump phenomenon）和滞后（hysteresis phenomenon）行为

与线性系统振动不同,该非线性振动系统在同一个角频率w时,最多有三个振幅值。根据稳定性分析,在该曲线上的p和q两点具有垂直切线,是稳定与不稳定解的分界点,即p和q区间的定常振动不稳定,现实中是不能实现和发生的。而在该区间内,实际振动时,究竟哪一个定常振动发生,是由初始条件等决定的。

王海波. Duffing方程非线性振动特性的计算与分析[D].西安建筑科技大学,2009.

大量研究指出在接触共振可以给系统带来复杂的非线性响应，这里所谓的接触共振是指接触系统在线性等效共振频率区间内的共振特性。对于单自由度赫兹点接触系统的接触共振问题，Nayak比较早的采用谐波平衡法分析了系统在简谐激励下的响应特征，发现在接触主共振区间幅频响应曲线向左偏，即系统具有软的动力学滞后、跳跃和双稳态共振行为。 Hess采用多尺度法给出了该系统更为精确的近似解，并且分析了系统参数对赫兹接触主共振动力学软滞后特性的影响，发现增大阻尼可以使软滞后跳跃行为消失。Rigaud 和 Perret-Liaudet实验验证了赫兹接触主共振的软滞后动力学响应特性（如上图所示），随后他们理论和实验研究了该系统的亚谐共振特性，由于赫兹接触系统大量非线性动力学行为的存在，他们明确指出虽然大多数接触系统的接触刚度是采用线性近似求得的，可是只有采用赫兹接触非线性模型才可能准确的预测系统的响应特性。

软硬特性：

软：幅频响应曲线向左偏；共振峰值往左偏
硬：幅频响应曲线向右偏；共振峰值往右偏

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