一元、二元函数中可微、可导、连续等的关系

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微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分 ? - 马同学的回答 - 知乎
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1. 微积分的诞生

古典微积分
古典微积分是由Leibniz和Newton各自独立创建的。古典微积分是为了解决曲线下积分的问题，采用分割近似求和的思想，明显可知道Δx=xi+1−xi\Delta x=x_{i+1}-x_iΔx=xi+1−xi分的越小则最后近似求和结果越准确，因此就出现了无穷小量Δx\Delta xΔx

在计算过程中，会自然的出现导数，因此有了对导数的讨论。
- 导数的古典定义
  导数不是由Leibniz和Newton发明的，但是是他们在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定了。古典微积分中是使用切线、割线和无穷小量对导数进行定义的。
  将曲线上任意两点连接起来会产生一条与曲线相交的直线称为割线。割线可以反应曲线的平均变化率。
  
  当割线和曲线的两个交点无限接近时就变成了曲线的切线。

从图中的几何原理可得出导数的定义为f′(x)=dydxf'(x)=\frac{dy}{dx}f′(x)=dxdy，而dxdxdx和dydydy两个无穷小量被称为x和y的微分，所以Leibniz也称导数为微商。因此可以看到在古典微积分中是先定义微分再定义导数。

用无穷小量定义会造成矛盾
- 根据切线的定义，b和a横坐标距离相差了dxdxdx，这样严格来说“切线”与曲线仍有两个交点。但如果a和b重叠，那么又无法确定直线，古典定义下的切线是一个悖论
- 另外根据古典定义对导数的计算也会有影响。比如计算x2x^2x2的导数：ddx(x2)=f(x+dx)−f(x)dx=(x+dx)2−(x2)dx=x2+2xdx+dx2−x2dx=2xdx+dx2dx=2x+dx=2x\frac{d}{dx}(x^2)=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^2-(x^2)}{dx}=\frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx}=\frac{2xdx+dx^2}{dx}=2x+dx=2xdxd(x2)=dxf(x+dx)−f(x)=dx(x+dx)2−(x2)=dxx2+2xdx+dx2−x2=dx2xdx+dx2=2x+dx=2x，可以看出dxdxdx在作为分母时应该被看做非0的极小值来约去，但在2x+dx2x+dx2x+dx处又应被看成0，这样的计算也是自相矛盾的。
  因此微积分的古典定义并不严谨。
极限微积分
- 极限，用ε−X\varepsilon-Xε−X定义来描述极限
  ：设函数f(x)f(x)f(x)在[b,+∞]\left[b,+\infty\right][b,+∞]上有定义，若存在常数A，对任给ε>0\varepsilon>0ε>0，存在X>0X>0X>0，当x>Xx>Xx>X时，都有∣f(x)−A∣<ε\left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon∣f(x)−A∣<ε，则称数A为函数f(x)当x→+∞x\rightarrow +\inftyx→+∞时的极限。
- 导数的极限定义
  f′(x0)=dydx=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x_0)=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}f′(x0)=dxdy=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δxf(x0+Δx)−f(x0)
  脱离微商使用极限思想重新定义导数，此时的导数称为了一个整体。
- 因此在先定义了导数之后再定义了微分：设y=f(x)y=f(x)y=f(x)在x的某邻域U(x)内有定义，若Δy=f(x+Δx)−f(x)\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)Δy=f(x+Δx)−f(x)可表示为Δy=f′(x0)Δx+αΔx=AΔx+o(Δx)(Δx)→0\Delta y=f^\prime\left(x_0\right)\Delta x+\alpha\Delta x=A\Delta x+o\left(\Delta x\right)\ \left(\Delta x\right)\rightarrow0Δy=f′(x0)Δx+αΔx=AΔx+o(Δx) (Δx)→0，其中A是与Δx\Delta xΔx无关的常量，则称y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x处可微。AΔxA\Delta xAΔx是Δy\Delta yΔy的线性主部，并称其为y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x处的微分，记为dy，即dy=AΔxdy=A\Delta xdy=AΔx
- 我们可以看到，可微是人为定义的，通过计算来判断微分各变量之间的精确关系，即dy=f′(x0)dx=AΔxdy=f'(x_0)dx=A\Delta xdy=f′(x0)dx=AΔx。因此当f′(x)→∞f'(x)\rightarrow\inftyf′(x)→∞，如斜率k=90°k=90\degreek=90°时，dydydy与dxdxdx的定量关系无法在数值上精确判断，故不可微。可微曲线就是以曲代直，以小段切线代替局部曲线。

2. 一元函数可导、可微、连续的关系

连续：f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0有定义且lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0)limx→x0f(x)=f(x0)
由于可微是由可导定义的，因此一元函数中可导和可微是可以互推的。也就是说只要可导有定义，则必有可微可定义，反之亦然。
跳跃间断点时不连续，不可微也不可导
可导和可微可以推出连续都不能推出可导和可微。如f(x)=∣x∣f(x)=\left|x\right|f(x)=∣x∣ 时在(0,0)(0,0)(0,0)处连续，但不可导也不可微
总结

3. 二元函数可偏导、可微、连续、偏导数连续的关系

可微与可偏导的关系：可微可以推出可偏导，可偏导不能推出可微。二元函数中可偏导是一元属性，而可微是二元属性，一元属性的偏导存在无法推出二元属性的可微。
可微与连续的关系和一元时的情况一样
一阶偏导数连续与可微的关系：首先先考虑一阶时的情况，由震荡曲线y=x2sin⁡1x2,(x≠0);y=0,(x=0)y=x^2\sin {\frac{1}{x^2}},(x\neq0); y=0,(x=0)y=x2sinx21,(x=0);y=0,(x=0)可知道震荡曲线可微但导数在x=0x=0x=0处不连续。将震荡函数扩展到二维中时，f(x,y)f(x,y)f(x,y)在(0,0)(0,0)(0,0)处显然可微，但在(0,0)(0,0)(0,0)点偏导不连续，存在无穷多个趋近竖直的切平面
一阶偏导数连续与可偏导的关系：可偏导包含在一阶偏导数中

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