一、理论基础

1、麻雀优化算法

请参考这里。

2、混合策略改进的麻雀优化算法

（1）佳点集的种群初始化

具体原理请参考这里、这里和这里。通过对佳点集法和随机法生成二维初始种群进行对比，如图1所示。在相同的取点个数下，使用佳点集初始化方法的个体比随机初始化方法的个体更加均匀。

(a) 佳点集法产生的二维初始种群(N=100N=100N=100)
(b) 随机初始化的二维初始种群(N=100N=100N=100) 图1 二维初始种群分布图

（2）黄金莱维飞行策略

莱维飞行具体原理请参考这里。其次引入正弦函数与单位圆的关系，使得发现者能遍历圆上所有位置。并且通过引入黄金分割系数缩小解空间，以便获取可能好结果的搜索区域，加快算法搜索速度。综上结合莱维飞行和黄金正弦指引机制对发现者在R2<STR_2<STR2<ST时位置更新公式如式(1)所示。Xi,jt+1=Xi,jt⋅∣sin⁡(r1)∣+γ⋅levy(λ)⊕dis(1)X_{i,j}^{t+1}=X_{i,j}^t\cdot|\sin(r_1)|+\gamma\cdot levy(\lambda)\oplus dis\tag{1}Xi,jt+1=Xi,jt⋅∣sin(r1)∣+γ⋅levy(λ)⊕dis(1)γ=r2⋅sin⁡(r1)⋅exp⁡(−iα⋅M)(2)\gamma=r_2\cdot\sin(r_1)\cdot\exp\left(\frac{-i}{\alpha\cdot M}\right)\tag{2}γ=r2⋅sin(r1)⋅exp(α⋅M−i)(2)dis=∣θ1⋅Xbest,jt−θ2⋅Xi,jt∣(3)dis=\left|\theta_1\cdot X_{best,j}^t-\theta_2\cdot X_{i,j}^t\right|\tag{3}dis=∣∣θ1⋅Xbest,jt−θ2⋅Xi,jt∣∣(3)其中，Xi,jt+1X_{i,j}^{t+1}Xi,jt+1和Xi,jtX_{i,j}^tXi,jt分别表示在第t+1t+1t+1代和第ttt代时第iii只麻雀的第jjj维；r1∈[0,2π]r_1\in[0,2\pi]r1∈[0,2π]和r2∈[0,π]r_2\in[0,\pi]r2∈[0,π]的随机数；θ1\theta_1θ1和θ2\theta_2θ2是由引入黄金比例系数τ\tauτ计算得到，其中τ=(5−1)/2\tau=(\sqrt 5-1)/2τ=(5−1)/2。θ1=−π+2π⋅(1−τ)(4)\theta_1=-\pi+2\pi\cdot(1-\tau)\tag{4}θ1=−π+2π⋅(1−τ)(4)θ2=−π+2π⋅τ(5)\theta_2=-\pi+2\pi\cdot\tau\tag{5}θ2=−π+2π⋅τ(5)相较于SSA中发现者的第一段更新策略，提出的黄金莱维飞行策略能让发现者搜索到更大范围，如图2(b)所示。

(a) y=exp⁡(−i/(α⋅M));(M∈[0,1000])y=\exp(-i/(\alpha\cdot M));\,(M\in[0,1000])y=exp(−i/(α⋅M));(M∈[0,1000])
(b) y=∣sin⁡(r1)∣+γ⋅levy(λ)⋅(θ1−θ2);(M∈[0,1000])y=|\sin(r_1)|+\gamma\cdot levy(\lambda)\cdot(\theta_1-\theta_2);\,(M\in[0,1000])y=∣sin(r1)∣+γ⋅levy(λ)⋅(θ1−θ2);(M∈[0,1000]) 图2 发现者搜索策略

（3）t-分布扰动策略

采用t-分布扰动策略对发现者位置进行扰动，以此来提升算法的灵活性和求解效果。t-分布又称学生分布，含有参数自由度nnn，当t(n→∞)→N(0,1)t(n\rightarrow\infty)→N(0,1)t(n→∞)→N(0,1)；当t(n=1)=C(0,1)t(n=1)=C(0,1)t(n=1)=C(0,1)，其中N(0,1)N(0,1)N(0,1)为标准的高斯分布，C(0,1)C(0,1)C(0,1)为柯西分布。即t-分布的两个边界分别是高斯分布和柯西分布。引入该特性对发现者R2＞STR_2＞STR2＞ST的更新公式进行改进，改进公式如下：Xit+1=Xit+t−distribution(t)⋅Xit(6)X_i^{t+1}=X_i^{t}+t-distribution(t)\cdot X_i^t\tag{6}Xit+1=Xit+t−distribution(t)⋅Xit(6)其中，使用当前迭代次数ttt作为ttt分布的自由度参数。增强算法在迭代初期的全局探索能力的同时，也加强了算法在迭代后期的局部开发能力。

（4）动态分配侦察者策略

为了挑选出更具有跳出局部极值的麻雀个体，采用了一种动态分配侦察者策略，一半的侦察者保持原有的随机挑选机制，另一半的侦察者引入竞争机制。侦察者执行侦察任务成功率越高，竞争能力越强。将竞争能力强的个体选入下一代的侦察者。令Ni,tN_{i,t}Ni,t表示第iii个体在ttt代执行侦察任务的总次数，Ni,sN_{i,s}Ni,s表示第iii个体在ttt代成功执行侦察任务的总次数，则第iii个体在第ttt代执行侦察任务的成功率ri,tr_{i,t}ri,t为ri,t=Ni,sNi,t(7)r_{i,t}=\frac{N_{i,s}}{N_{i,t}}\tag{7}ri,t=Ni,tNi,s(7)其中，Ni,sN_{i,s}Ni,s的大小取决于执行改进后侦察者位置更新公式前后适应度的比较，即若执行侦察任务后的适应度优于执行前的适应度，则该个体执行侦察任务成功，执行侦察任务的成功总次数加一，否则保持不变。
将执行侦察任务成功率进行排序，选取成功率较高的个体(占个体总数的10%)视为更具有跳出局部最优能力的个体，并且加入下一次侦察者。Xit+1={sin⁡(θ3)⋅r3⋅(Xbestt−Xit)+cos⁡(θ4)⋅r4⋅(Xrandt−Xit)iffi>fgXit+K⋅(∣Xit−Xworstt∣(fi−fw)+ε)iffi=fg(8)X_i^{t+1}=\begin{dcases}\sin(\theta_3)\cdot r_3\cdot(X_{best}^t-X_i^t)+\cos(\theta_4)\cdot r_4\cdot(X_{rand}^t-X_i^t)\quad\text{if}\,\,f_i>f_g\\[2ex]X_i^t+K\cdot\left(\frac{|X_i^t-X_{worst}^t|}{(f_i-f_w)+\varepsilon}\right)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\text{if}\,\,f_i=f_g\end{dcases}\tag{8}Xit+1=⎩⎨⎧sin(θ3)⋅r3⋅(Xbestt−Xit)+cos(θ4)⋅r4⋅(Xrandt−Xit)iffi>fgXit+K⋅((fi−fw)+ε∣Xit−Xworstt∣)iffi=fg(8)其中，θ3\theta_3θ3和θ4\theta_4θ4是属于[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]之间的随机数，r3r_3r3和r4r_4r4是生均值为0、方差为1的高斯分布随机数， XrandtX_{rand}^tXrandt是第ttt代随机选择的麻雀个体。改进后的侦察者更新策略，对侦察者进行扰动，由于算法迭代初期，种群分布不均，个体位置分布差距较大，利用差分变量对侦察者进行变异，提高种群多样性；在算法迭代中后期，大多数麻雀个体不会发生太大变化，此时算法主要通过高斯分布函数系数对种群进行局部扰动，避免发生早熟。最后引入正余弦函数，动态分配权重系数，防止受单个差分变量的持续性影响。

（5）MI-SSA算法实现流程

MI-SSA算法实现流程图如图3所示。

图3 MI-SSA算法流程图

二、仿真实验与结果分析

将MI-SSA与PSO、BOA、WOA和SSA进行对比，以常用23个测试函数中的F1、F2(单峰函数/30维)、F9、F10(多峰函数/30维)、F16、F18(固定维度多峰函数/2维、2维)为例，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F1
PSO：最差值: 1.139, 最优值: 0.26016, 平均值: 0.57841, 标准差: 0.21317
BOA：最差值: 9.7285e-11, 最优值: 6.1802e-11, 平均值: 7.4564e-11, 标准差: 7.6992e-12
WOA：最差值: 8.7281e-69, 最优值: 1.6156e-90, 平均值: 2.9154e-70, 标准差: 1.5934e-69
SSA：最差值: 3.6724e-38, 最优值: 0, 平均值: 1.2242e-39, 标准差: 6.7049e-39
MI-SSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
函数：F2
PSO：最差值: 11.2003, 最优值: 2.5968, 平均值: 6.8491, 标准差: 2.4272
BOA：最差值: 3.0584e-08, 最优值: 9.5553e-09, 平均值: 2.4406e-08, 标准差: 5.3824e-09
WOA：最差值: 6.1346e-50, 最优值: 1.5969e-61, 平均值: 6.2244e-51, 标准差: 1.755e-50
SSA：最差值: 3.9911e-21, 最优值: 2.5646e-167, 平均值: 1.3571e-22, 标准差: 7.2823e-22
MI-SSA：最差值: 8.6224e-293, 最优值: 0, 平均值: 2.9252e-294, 标准差: 0
函数：F9
PSO：最差值: 107.8921, 最优值: 54.1041, 平均值: 80.521, 标准差: 14.6943
BOA：最差值: 203.1899, 最优值: 0, 平均值: 19.453, 标准差: 59.3502
WOA：最差值: 5.6843e-14, 最优值: 0, 平均值: 1.8948e-15, 标准差: 1.0378e-14
SSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
MI-SSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
函数：F10
PSO：最差值: 6.8766, 最优值: 3.0128, 平均值: 4.7005, 标准差: 0.95179
BOA：最差值: 3.8844e-08, 最优值: 1.8297e-08, 平均值: 2.968e-08, 标准差: 5.2329e-09
WOA：最差值: 7.9936e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 5.6251e-15, 标准差: 2.5265e-15
SSA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0
MI-SSA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0
函数：F16
PSO：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 3.27e-09
BOA：最差值: -1.0306, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0312, 标准差: 0.00027372
WOA：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 2.0539e-09
SSA：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 5.1664e-16
MI-SSA：最差值: -1.0315, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 2.1603e-05
函数：F18
PSO：最差值: 3, 最优值: 3, 平均值: 3, 标准差: 1.0382e-07
BOA：最差值: 3.8414, 最优值: 3, 平均值: 3.0553, 标准差: 0.15894
WOA：最差值: 3.0009, 最优值: 3, 平均值: 3, 标准差: 0.00016142
SSA：最差值: 30, 最优值: 3, 平均值: 7.5, 标准差: 10.2343
MI-SSA：最差值: 3.0006, 最优值: 3, 平均值: 3.0001, 标准差: 0.00015982

实验结果表明：MI-SSA具有更好的寻优精度和收敛速度，在高维度问题求解上，具有更好的性能。

三、参考文献

[1] 陈俊, 何庆. 混合策略改进的麻雀优化算法[J/OL]. 小型微型计算机系统: 1-9 [2022-07-27].

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