极限是高等数学最开始的一个章节，也成为了很多初学高数的人遇到的第一个“天堑”。在初学极限的时候会有一些题目，不仅学渣遇到了会跪，即使是大神也屡跪不止。其实这些极限基本上都是一些坑。笔者两年以来被很多人问过相关的极限，因此打算把这些比较坑的极限总结一下。

先发一些我能想起来的，剩下的以后再慢慢补充。因为时间仓促水平有限，难免会有错误，欢迎指正。

在我的记忆里，一般数列极限出问题的情况比较多，毕竟函数极限的那几个法则已经能很好地解决我们想要解决的问题了。



一、连根式

连根式型极限想来很多人都不陌生。下面这道题也是很多人都曾经见过的一道题。

这道题倒是很简单，先通过单调有界证明极限存在，并设该极限为x，接着利用就可以很快地求出结果了。

后面的问题单调有界就不说明直接求了

比这个稍微复杂一些的也可以解决，比如下面的这道题：

类似的循环连根式都可以用这样的方式来解决

或者一些看起来并不循环的连根式也可以通过一些变换将它处理成循环连根式，例如：

乍一看感觉可能和循环连根式没什么关系，但是只要像下面进行简单的处理就会变得很显然了：

然而总是会有人想要做一下推广：既然无限循环的连根式可以这样解，那无限不循环的连根式又要怎样解？于是我就第N次见到了有人问下面这个问题：

这道题在我上大一的时候给了我无限的折磨，想了很久也不知道这个极限究竟应该如果去求。直到后来学习了相关的知识之后才知道这个极限根！本！没！有！解！析！解！也就是说我们不能用我们已知的初等函数和几个常用的常数去表示它。wolfram上介绍过这个，不过也只是说了一下数值：http://mathworld.wolfram.com/NestedRadicalConstant.html

但它的极限到底是多少呢？虽然我们无法求出这个的解析解，但是我们可以用夹逼的方式去求它的数值解。以前在网上见到过一张相关的图片，不过忘记了出处是哪里，所以很抱歉无法标明这张图片的出处：

当然，并不是说所有的无限不循环连根式都没有解析解，有很多无限不循环连根式也是用一些常用的公式得来的，其中比较经典的就是Ramanujan恒等式：

它的原理其实很简单，就是利用，所以有：
或者可以求解更一般的：
当n=0,a=1,x=2的时候就是上面的那个例子
还有，上面那个极限虽然直接求没有解析解，但是也不代表和它相关的极限就一定求不了，比如：

这个极限就可以用夹逼求得，结果还是一个比较规整的数，可以试着求解一下。
对于判断这一类的数列是否收敛，比较常用的是Herschfeld定理，在这个链接可以看到：http://mathworld.wolfram.com/HerschfeldsConvergenceTheorem.html
另外还有一个问的比较多的问题：
这个的结果到底是什么我到现在还不清楚，自己用夹逼大概可以精确到2.9116392到2.9116393之间，当然，用计算器的话可以无限趋近。然而无法用我现在知道的函数和常数去表示它，感觉只是一个特殊的超越数。如果有哪位知道欢迎评论或者加我QQ952866274告诉我一下。
总之连根式型的极限，如果是无限循环的，那就大胆地用通法。如果是无限不循环的，尽量去联系自己已知的一些因式分解的公式进行变形。当然，对于极限初学者来说，那种不知来源的无限不循环的连根式极限还是慎做，毕竟这是很大的一个坑，很有可能白白搭进去很多时间和精力最终也一无所获。
QQ952866274 http://blog.csdn.net/qq_31474315
二、连分式
无限连分式的极限相信大家也不陌生，比如下面这道很常见的题：
这个问题的求解也很简单，令极限为x,很容易看出x=1+1/x,然后就可以得出答案了。
有人会发现这个和上面连根式的答案是一样的。其实连根式和连分式有很多想通的地方。我没怎么研究过这个问题，也就不在这里乱说了。
当然，稍微复杂一点点也没关系：
这个无非就是把循环周期由一项变为两项了，无所谓，跳过一个循环周期去设就可以了：
可以由此推广：任意无限循环连根式的极限均为某个一元二次方程的根。
这是否能说明任意无限循环连分式都是收敛的呢？没错。而且有一个很反直觉的结论：任意无限连分式都是收敛的。
接下来.......没错，你猜对了，要说一些比较好玩的连分式极限了（当然都是不循环的）。
首先是有人问过我这样一个问题：
乍一看感觉莫名其妙，处理了一下才发现是自己以前见过的一个形式，该形式及推导如下：
所以那个连分数就是1+sin1。
之前还有一段时间这个连分数在网上问的特别多：

这个的答案是1/(e-2),具体的推导过程可以看我传的这个文档：http://download.csdn.net/detail/qq_31474315/9672380    放心吧，免费的，不要积分。
那个文档里面有着欧拉总结的很多种连分式的极限和推导过程。
之前在网上最火的莫过于这个：
曾经有一段时间被这个连分数刷屏了。没错，你又猜对了，这个数值无法用初等函数表示。但是与上面那个Nested Radical Constant不同的是，我们可以有专门的函数来表示它，这个数的具体值是J(1,2)/J(0,2),其中J(n,x)是第一类贝塞尔函数。贝塞尔函数即下面这个贝塞尔方程的解：
这个解并不是初等函数，但是它在物理中的应用却很是广泛，在《数学物理方程》上对这个有详细的介绍。如果想更深入地了解，可以参见《常微分方程解析理论》。
这几种类型是我相对比较了解的类型，其他的一些无限不循环但是有初等解的连分数，比如像拉马努金的那些，表示我也有些迷糊，也没有做过研究。
不过分享一个拉马努金最著名的连分数吧：
这个很巧妙地把e,π和黄金分割率联系在一起，来源在维基百科中有叙述：https://en.wikipedia.org/wiki/Rogers%E2%80%93Ramanujan_continued_fraction
原来已经啰里啰嗦地说了这么大一堆了，其实就是想说：对于无限循环连分式，大胆地化成二次方程去求解；对于无限不循环连分式，无论是泰勒公式，还是积分，亦或是后面的特殊函数，都不是极限初学者能很好掌握并熟练运用的东西。毕竟像sinx那个如果不是曾经见到过的话我也想不到，对于初学者来说肯定就更困难了。因此，初学极限时，遇到无限不循环连分式，尽量还是绕过这个坑吧。
如果想对连分数有更多的了解，数学吧的花姐发过一个帖子，可以去瞻仰一下：http://tieba.baidu.com/p/2967204916
三、我也不知道这个该叫什么
这部分说的是像下面这种嵌套相乘的，我也不知道该叫什么：
这种类型的我们都可以把它转化为相加的形式：
再比如我在另一篇博文里面发的这个：
推导过程在那篇博文里有写http://blog.csdn.net/qq_31474315/article/details/52651896
一类特殊的连根式也可以通过表示成这种形式去解决：
可以看出这种嵌套的形式都可以表示为数列求和，也就是级数。所以对于初学者来说，可以把它当成数列求和去做。当然如果学习了级数之后再来看这些效果会更好。
可能是由于图片有些多，我的编辑已经有些不太方便了，所以先写到这里，剩下的一些类型发在第二篇里吧。
有好的想法欢迎加我QQ952866274一起探讨。
转载请注明出处！


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