前言：

主要内容：

磁场中的电磁力波：

物体的震动：

单自由度的震动描述：

多自由度的震动描述：

电机定子的震动（未完成）：

最后的话：

前言：

最近这段时间学习电机震动噪声的相关知识，这部分内容之前没有接触过，基本上是从头开始。收集到的学习资料也不成体系，各家有各家的说法，学的时候感觉比较混乱。整合一下目前的学习情况，把知识线串一串，否则我感觉自己要昏了。本次笔记着重讨论关于震动方面的知识，由于噪音传播需要考虑声音的辐射效率，故噪声相关的内容暂不讨论（原则上后续会补上，不知道多久之后了）。

本次记录整理，一方面是顺一顺我自己的思路，另一方面如果有其他伙伴也要加入电机震动噪声的学习，这部分笔记也能为大家做个参考。

主要内容：

先画一张结构图来总体鸟瞰一下电机震动噪声的内容，我们之后会花大篇幅讨论的部分我用红框给标记出来了。

简而言之，电机的震动噪声分为三类，机械装配引发的噪声、电磁设计引发的噪声以及电机运行过程中带动气流运动引发的噪声。其中的机械噪声和空气动力学噪声主要和电机的安装结构和电机采取的散热方式相关，比如转子偏心或者采取强迫风冷的电机这两部分噪声就会大一些。这两部分噪声在我们进行电机设计的时候，是不予考虑的。

与电机本体设计关系最大的是电磁噪声，而电磁噪声主要集中在电机定子上，我们这里讨论的对象放在电机定子，它受两部分电磁力的作用，一个是切向力，这部分力宏观体现就是转矩脉动：另一部分是径向力，它的量级比切向力大，是电机定子震动噪声的主要来源，所以在本部分入门笔记中，我们抓住主要矛盾，介绍电磁力波中的径向力。

介绍完电机震动的结构框图之后，下面再给一个很重要的微分方程。应该说之后所有关于电机的震动的分析，都是通过这个微分方程进行处理的，方程本身很简单，就是描述物体的震动规律特性的。

M为系统的质量矩阵，C为阻尼矩阵，K为刚度矩阵，F是外力，X是系统震动的位移。本文把上方这个方程记作震动方程，

之后关于震动的内容会围绕着震动方程来进行展开。

磁场中的电磁力波：

很多文献在研究震动噪声的时候，它们不去对震动噪声的特性进行研究，反而一直在纠结怎样把气隙磁场的值计算得非常精确，这是为什么呢？逻辑线是这样的：

磁场计算准确了，那径向力和切向力就能准确这个力准确了，再带入震动方程中去，才有可能获得准确的震动位移。这里我们假设已经获取了准确的气隙磁场，根据麦克斯韦张量法，分别获得径向电磁力密度和切向电磁力密度如下所示：

n、t分别指径向磁密和切向磁密。在实际的分析过程中，由于径向磁密比切向磁密相比超过量级，所以我们在研究径向电磁力密度的时候，常常会采取下式进行分析：

需要补充说明的是，以上公式假设条件为：气隙磁场正弦分布。然而电机的气隙磁密必然不可能完美符合正弦分布规律，所以我们需要对电机的磁密做傅里叶分解，这也是之后电磁力波有阶数这一概念的原因。

气隙磁场进行傅里叶分解，基波幅值最大，下面就以基波为例，进行电磁力波的推导。

设基波磁场表达式如下：

代入上方径向电磁力密度表达式中，再结合三角函数的积化和差的性质，可以得到下方的结果。

单次谐波产生的电磁力波结果包含一个直流量与一个仍以正余弦规律变化的量。在震动噪声分析中，直流量是无法引发系统的往复运动的，我们关心的是系统的简谐运动，因此直流的电磁力不影响电机定子的震动。现在讨论这个交流量。

通过数学推导的表达式可以看出，其频率变为基波的2倍，同时初始相角也有了相应地变换。频率对应时间特性，相角对应空间特性，这两个参数很关键，将在震动中进行讨论。这里需要给出关于电磁力波阶数的定义，相角中的参数2p，就对应此时电磁力的阶数，其中p为电机的极对数。

接下来的内容不做严格推导，由于电磁力的阶数是与气隙磁密的谐波次数相关的，感兴趣的同学可以自己去推导一下，在一台电机中，其非0阶电磁力的最小阶数为:

GCD为求取最大公约数，Z为定子槽数，p为极对数。大家通过这个式子也能看出电机的极槽配合对电机的震动噪声的影响是非常巨大的，我在后面关于电机震动的内容中会对这一点进行解释。

物体的震动：

不得不复习一下关于震动的相关知识，这部分内容跟电机没关系，但是需要单独拿出来说明一下，否则一会看电机震动的推论的时候，会很懵。

放一个参考的资料，别人写得比我全面得多，这里只是为了电机的震动先行介绍一些概念。

如何理解单自由度系统振动https://zhuanlan.zhihu.com/p/263045899https://zhuanlan.zhihu.com/p/263045899

单自由度的震动描述：

先从简单的开始，这是一个有物块，有弹簧，有阻尼的系统（图片取自参考资料）。

还记得之前给出的那个震动方程吗？现在就需要它登场了。为了便于说明，我们对这个模型再次进行简化，取它的外力F和阻尼C均为0，此时模型称为无阻尼的自由振动模型。通过下方的这个微分方程来进行描述：

这个微分方程我们是可以手解的，为了便于求解，将方程转换成如下形式：

其中：

求解过程我省略掉了，最后我们求出的结果是这样的：

推导的结果表明，系统的自由运动是幅值为A，频率为K/m的简谐运动，幅值和相角与系统的初始条件有关，频率与系统本身属性有关，与初始条件无关。

由此，我们得到了震动中非常重要的一个特征量，系统的固有频率。其值为系统的刚度K与系统质量m之比。

同样的求解过程我们再来一遍，只不过这次加上了外力作用，由于需要对方程进行求解，我们设外力F有如下的表达式：

其震动方程变为：

类似的求解过程，微分方程的解变为通解+特解的形式，由于通解与上方未加入F时的解一致，此处我们仅仅讨论特解x0。（这一部分内容看不明白的同学建议复习一下微分方程的解法）为了使解表达整洁，做如下约定：

求解出的x0为：

看上去比较复杂，但是从这我们可以得到一个很关键的信息：当固有频率在数值上与系统受到的外力的频率很接近的时候，特解的分母趋于0，震动位移趋于无穷大。称此时系统发生了共振。我们会关心电磁力的频率，不仅仅是为了避免共振，同时频率与震动的幅值也有关系。

实际震动的位移并不会无穷大，因为系统是有阻尼存在的，会对位移起到衰减的效果（数学推导出来是指数衰减，感兴趣的同学自己推一下）。

多自由度的震动描述：

将之前展示的单自由度的系统串接起来，就形成了多自由度的系统了。分析原理是一样的，不再赘述。需要补充说明的是，求解多自由度系统的时候，列写的是微分方程组，这也是为什么震动方程是用矩阵的形式来表示的原因。

讨论多自由度主要是为了引出模态这一概念，还是先给参考资料：

电机定子模态的空间特征https://zhuanlan.zhihu.com/p/64772686https://zhuanlan.zhihu.com/p/64772686

在讨论振型（模态）这个概念时，我们还是需要将外力F置0。因为一个系统的模态跟外力无关。即关于模态的讨论是在系统自由震动时进行的，我学习的时候，那些资料一直在说什么是模态，却没有把这个前提给指明，对我造成了极大的困扰。

举例来说，如果是有八个自由度，那么解出来的X是长度为8的向量。与之对应的是这个系统有8个固有频率（大家回想一下固有频率是怎么定义的），因此我们做出这样的定义：在任一固有频率下，自由震动时各点稳态振幅之比保持不变，此时这组震动的位移解x就是系统在这一固有频率下对应的模态。

一般而言，我们得到的系统模态是这样的，按照对应的固有频率从低到高分阶数：

提出模态这个概念的目的，是将复杂的多自由度的震动，解耦为多个模态叠加的单自由度的震动。类似于傅里叶分解，原始的曲线很复杂，但我们可以用很多个正余弦进行叠加。

电机中的模态其实是略有不同的，我会在下面进行解释。关于震动的背景知识就复习到这，小小的总结一下，其实关键问题就三点：

固有频率（与自由度相关）
共振现象
系统模态

电机定子的震动（未完成）：

终于到这了，我不能上来就写这部分内容。前面的基础知识不理解是没办法继续电机震动噪声的学习的。另外需要说明的是，这部分内容我正在学，而且没学明白（捂脸），真的没明白。所以这部分内容大家就看看就好，欢迎和我讨论，我之后会单独拿一篇博客来阐述电机定子的震动分析的，这里只是把我目前获得的知识整合一下。

目前我理解的电机震动大小关系图如下所示：

本文的第一部分对电磁力进行了讨论，第二部分介绍了震动的相关知识，其实都是想把上图中的对应内容给覆盖到。当已知了上图中展示的内容之后，大家再来看这个方程，理论上我们是能够求解出电机的震动情况的：

震动已知的情况下，我们就可以对电机的噪声进行分析了（这部分内容之后我抽时间再写）。所以电机震动噪声的一切问题研究，其实都是围绕着震动方程来的，我们希望这个方程中的量尽可能接近真实值，这样求解的结果才会准确，才能对实际的电机设计起到指导作用。

关于电机定子模态，与震动系统常用的模态是有区别的，这个是受电机电磁力阶数的影响，为了与电磁力阶数对应而特别规定的。上文中提到，电磁力的阶数其实是力的空间特性，简单说，如果是n阶径向电磁力，在电机定子上就会产生n个力的波峰，如果是0阶呢？那就没有力最大的点吧，圆上的力均匀变大变小，这种状态就对应了定子的呼吸模态，下面的这张图或许可以更直观的说明这个问题（图源自参考资料）：

为了与电磁力的阶数对应，电机的模态阶数并不是按照传统的以固有频率由低到高进行定义，而是将震动的位移振型与电磁力力型一致时定义为同一阶数。同阶的力遇上同阶的模态，其震动幅值会很大，如果这时候电磁力的频率再和固有频率接近，那这电机就要不得了。这就是电机模态与其他传统模态的不同之处。

在介绍电机电磁力最小非零阶数的时候，给过大家一个公式，是这样的：

为什么我们这么关心电机的最小非零阶数的电磁力呢，举个例子来说明一下。我们有个8极48槽的电机，它的r=8，即最小非零阶数为8。那么电磁力波从1阶到7阶的电磁力有没有？没有了。所以考虑震动的时候，电机的1阶到7阶的模态我们也不予考虑了，它的非零阶模态直接从8算起。电机最终震动为各阶电磁力与各阶模态的综合作用，一下子少了这么多的低阶震动，那电机的震动自然就减小了。这是我们说电机震动噪声与极槽配合关系紧密的原因。

最后的话：

至此，电机震动这一块的知识框架是搭出来了，但是内容还需要不断地进行填充，现在我的状态是光有个架子，没有内容。这个框架中的每一个细小的点都很有研究的价值，这也是很多前辈投入了大量时间和精力才得到的结果，很谢谢他们。

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