计算本原根

这里我不详细解释欧拉函数和本原根。
首先我们先了解求一个数的本原根的过程，以25为例：

25的本原根

1.在计算25的所有本原根时，首先我们要得到25的欧拉函数值可以知道25=5^2，其欧拉函数值=25-5=20
且这20个数为1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19,21,22,23,24。
2.接着遍历这些数依次求解这些数的1-20次方对25取余，并且这20个数不重复，且均在这些数里，编程里体现为对求得的20个数排序再比较。
3.由于高次幂会溢出，参考了大数计算优化的快速幂取余算法解决了这个问题。

求25的本原根的源代码

#include<iostream>
using namespace std;void bubbleSort(int arr[], int n);//冒泡排序
int power(long int x, long int y, long int n);//快速幂取余实现(x^y%n)int main()
{int i,j,k,flag[20];int n=25,sum=20;int s[20]={1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19,21,22,23,24}; cout<<"25的所有本原根为：";for(i=0;i<sum;i++){k=0;for(j=1;j<sum+1;j++){//这里要利用快速幂取余，否则数值太大会溢出flag[j-1]=power(s[i],j,n);}bubbleSort(flag,sum);for(j=0;j<sum;j++){if(flag[j]!=s[j])k=1;}if(k==0)cout<<s[i]<<" ";}cout<<endl<<endl;return 0;
}//冒泡排序
void bubbleSort(int arr[], int n)
{for(int i = 0;i < n;i++){  for(int j = 0;j < n-i-1;j++){  if(arr[j] > arr[j+1]){  int t = arr[j];  arr[j] = arr[j+1];  arr[j+1] = t;  }  }  }
}
//快速幂取余实现(x^y%n)
int power(long int x, long int y, long int n)
{long int t = 1;while (y > 0){if (y % 2 == 1){y -= 1;t = t*x%n;} else {y /= 2;x = x*x%n;}}return t%n;
}

结果

扩展为求输入数字的本原根

#include<iostream>
using namespace std;//判断两个数是否互素
int IsPrime(int a, int b)
{int temp;while(b!=0){temp = b;b = a % b;a = temp;}if(a==1)return 1;elsereturn 0;
}//得到欧拉函数的值和取值集合
void Euler(int n,int *s,int &sum)
{int i,flag;for(i=1;i<n;i++){flag=IsPrime(i,n);if(flag==1){s[sum]=i;sum++;}}
}//冒泡排序
void bubbleSort(int arr[], int n)
{for(int i = 0;i < n;i++){  for(int j = 0;j < n-i-1;j++){  if(arr[j] > arr[j+1]){  int t = arr[j];  arr[j] = arr[j+1];  arr[j+1] = t;  }  }  }
}//快速幂取余实现(x^y%n)
int power(long int x, long int y, long int n)
{long int t = 1;while (y > 0){if (y % 2 == 1){y -= 1;t = t*x%n;} else {y /= 2;x = x*x%n;}}return t%n;
}//根据互素集合利用遍历的方法求本原根
void root(int n,int sum,int s[])
{int i,j;int flag[100],k;for(i=0;i<sum;i++){k=0;for(j=1;j<sum+1;j++){//这里要利用快速幂取余，否则数值太大会溢出flag[j-1]=power(s[i],j,n);}bubbleSort(flag,sum);for(j=0;j<sum;j++){if(flag[j]!=s[j])k=1;}if(k==0)cout<<s[i]<<" ";}
}int main()
{int n,sum=0;int s[100];  //用来存储比n小且与n互素的正整数cout<<"请输入你想要求本原根的数：";cin>>n;Euler(n,s,sum);cout<<endl;cout<<n<<"的所有本原根为：";root(n,sum,s);cout<<endl<<endl;return 0;
}

结果：

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25的本原根

求25的本原根的源代码

结果

扩展为求输入数字的本原根

结果：

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