e的矩阵指数

笔记来源： e的矩阵指数——怎么算？为什么？

在微分方程组、量子力学⋯\cdots⋯中用到了 e 的矩阵指数

将 exe^xex 写为泰勒展开式
ex=x0+x1+12x2+16x3+⋯+1n!xn+⋯e^{x}=x^0+x^1+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\cdots ex=x0+x1+21x2+61x3+⋯+n!1xn+⋯

将实数 xxx 替换为矩阵 XXX
eX=X0+X1+12X2+16X3+⋯+1n!Xn+⋯e^{X}=X^0+X^1+\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{6}X^3+\cdots+\frac{1}{n!}X^n+\cdots eX=X0+X1+21X2+61X3+⋯+n!1Xn+⋯
e[abcd]=[abcd]0+12[abcd]2+16[abcd]3+⋯+1n![abcd]ne^{\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}}= \begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}^0+ \frac{1}{2}\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}^2+ \frac{1}{6}\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}^3+\cdots+ \frac{1}{n!}\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}^n e[acbd]=[acbd]0+21[acbd]2+61[acbd]3+⋯+n!1[acbd]n

我们从微分方程组的角度切入来了解 eee 的矩阵指数

{x′(t)=ax(t)+by(t)y′(t)=cx(t)+dy(t)[x′(t)y′(t)]=[abcd][x(t)y(t)]ddtv⃗(t)=Mv⃗(t)\begin{cases} x'(t)=ax(t)+by(t)\\ y'(t)=cx(t)+dy(t)\\ \end{cases}\\ ~\\ \begin{bmatrix}x'(t)\\ y'(t)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x(t)\\ y(t)\end{bmatrix}\\ ~\\ \frac{d}{dt}\vec{v}(t)=M\vec{v}(t) {x′(t)=ax(t)+by(t)y′(t)=cx(t)+dy(t) [x′(t)y′(t)]=[acbd][x(t)y(t)] dtdv(t)=Mv(t)

如何求解这个微分方程组：
（微分方程的解是求原函数，一个原函数为一个解，下式中的向量和矩阵意味着在同时求解多个微分方程，即求解微分方程组）
ddtv⃗(t)=Mv⃗(t)\frac{d}{dt}\vec{v}(t)=M\vec{v}(t) dtdv(t)=Mv(t)
上式中发现：v⃗(t)\vec{v}(t)v(t)的导数 = M × 其本身，我们联想到 ddxeax=aeax\frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}dxdeax=aeax

通过一个例子来类比推导
每一个初始值x0x_0x0都对应一个解（微分方程的解是求原函数，一个原函数为一个解）
比如：t=0，x(0)=x0=0.5t=0，x(0)=x_0=0.5t=0，x(0)=x0=0.5，它就对应 x(t)=0.5e0.3tx(t)=0.5e^{0.3t}x(t)=0.5e0.3t 这条曲线
比如：t=0，x(0)=x0=1t=0，x(0)=x_0=1t=0，x(0)=x0=1，它就对应 x(t)=e0.3tx(t)=e^{0.3t}x(t)=e0.3t 这条曲线
比如：t=0，x(0)=x0=3t=0，x(0)=x_0=3t=0，x(0)=x0=3，它就对应 x(t)=3e0.3tx(t)=3e^{0.3t}x(t)=3e0.3t 这条曲线

我们将所有初值用变量x0x_0x0 替代，就得到了微分方程的所有解
x(t)=x0e0.3tddtx(t)=0.3x0e0.3t=0.3x(t)x(t)=x_0e^{0.3t}\\ ~\\ \frac{d}{dt}x(t)=0.3x_0e^{0.3t}=0.3x(t) x(t)=x0e0.3t dtdx(t)=0.3x0e0.3t=0.3x(t)
我们将上面两式中的0.3换为矩阵，x(t)x(t)x(t)换为向量【本质上是多个微分方程写为了矩阵形式】
v⃗(t)=[x(t)y(t)]=e[abcd]t[x(0)y(0)]ddtv⃗(t)=ddt[x(t)y(t)]=[abcd]e[abcd]t[x(0)y(0)]=[abcd][x(t)y(t)]=Mv⃗(t)\vec{v}(t)=\begin{bmatrix} x(t)\\ y(t) \end{bmatrix}=e^{ \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}t} \begin{bmatrix} x(0)\\ y(0) \end{bmatrix}\\ ~\\ \frac{d}{dt}\vec{v}(t)= \frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x(t)\\ y(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} e^{ \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}t} \begin{bmatrix} x(0)\\ y(0) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(t)\\ y(t) \end{bmatrix}=M\vec{v}(t) v(t)=[x(t)y(t)]=e[acbd]t[x(0)y(0)] dtdv(t)=dtd[x(t)y(t)]=[acbd]e[acbd]t[x(0)y(0)]=[acbd][x(t)y(t)]=Mv(t)

v⃗(t)=eMtv⃗(0)ddtv⃗(t)=Mv⃗(t)\vec{v}(t)=e^{Mt}\vec{v}(0)\\ ~\\ \frac{d}{dt}\vec{v}(t)=M\vec{v}(t) v(t)=eMtv(0) dtdv(t)=Mv(t)
我们直接由式子推导

例子：

从代数角度求解微分方程组
初始值
{x(0)=x0y(0)=y0\begin{cases} x(0)=x_0\\ y(0)=y_0\\ \end{cases} {x(0)=x0y(0)=y0
微分方程组
{x′(t)=−y(t)y′(t)=x(t)\begin{cases} x'(t)=-y(t)\\ y'(t)=x(t)\\ \end{cases} {x′(t)=−y(t)y′(t)=x(t)

[x′(t)y′(t)]=[−y(t)x(t)]\begin{bmatrix}x'(t)\\ y'(t)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-y(t)\\ x(t)\end{bmatrix} [x′(t)y′(t)]=[−y(t)x(t)]

[x′(t)y′(t)]=[0−110][x(t)y(t)]ddtv⃗(t)=Mv⃗(t)\begin{bmatrix}x'(t)\\ y'(t)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x(t)\\ y(t)\end{bmatrix}\\ ~\\ \frac{d}{dt}\vec{v}(t)=M\vec{v}(t) [x′(t)y′(t)]=[01−10][x(t)y(t)] dtdv(t)=Mv(t)

M=[0−110]M=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} M=[01−10]

v⃗(t)=[x(t)y(t)]=e[0−110]t[x(0)y(0)]\vec{v}(t)=\begin{bmatrix} x(t)\\ y(t) \end{bmatrix}=e^{ \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}t} \begin{bmatrix} x(0)\\ y(0) \end{bmatrix}\\ v(t)=[x(t)y(t)]=e[01−10]t[x(0)y(0)]

微分方程组的解：

从几何角度解微分方程组

速度向量和位置向量作圆周运动的视角
M=[0−110]M=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} M=[01−10]
这里的矩阵 MMM 其实是一个逆时针旋转90°的变换

上式中位置向量为[x(t)y(t)]\begin{bmatrix}x(t)\\ y(t)\end{bmatrix}[x(t)y(t)]，将位置向量逆时针旋转90°得到速度向量ddt[x(t)y(t)]\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}x(t)\\ y(t)\end{bmatrix}dtd[x(t)y(t)]

能让速度向量在运动中一直垂直于位置向量的唯一方法是绕原点作圆周运动

从基向量作圆周运动的视角

上述提到的矩阵 MMM 其两个基向量（红色、绿色向量）成90°，这两个向量随时间 ttt 一起作圆周运动

下图中的 x0=x(0)、y0=y(0)x_0=x(0)、y_0=y(0)x0=x(0)、y0=y(0) 即初始条件

综上：两个角度描述同一个圆周运动

速度向量和位置向量作圆周运动的视角
微分方程组：

从基向量作圆周运动的视角
微分方程组的解：

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