算法思想

顾名思义，采用插入的方式，对无序数列进行排序。

维护一个有序区，将数据一个一个插入到有序区的适当位置，直到整个数组都有序。即每步将一个待排序的记录，按其关键码值的大小插入前面已经排序的文件中适当位置上，直到全部插入完为止。

图示过程

初始状态

数列的初始值为。

先吧首元素 5 作为有序区，此时有序区只有一个元素，如下图所示。

第一轮

将下一个元素 8 和有序区所有元素依次比较，找到合适的位置，然后插入。

$8> 5$ ，所以元素 8 和元素 5 不需要交换。这样有序区的元素增加到两个，如下图所示。

第二轮

将下一个元素 6 和有序区所有元素依次比较，找到合适的位置，然后插入。

$6< 8$ ，所以元素 6 和元素 8 进行交换，如下图所示。

再比较 6 和 5 ， $6>5$ ，所以元素 6 和元素 5 不需要交换。这样有序区的元素增加到三个，如下图所示。

第三轮

将下一个元素 3 和有序区所有元素依次比较，找到合适的位置，然后插入。

$3< 8$ ，所以元素 3 和元素 8 进行交换，如下图所示。

$3< 6$ ，所以元素 3 和元素 6 进行交换，如下图所示。

$3< 5$ ，所以元素 3 和元素 5 进行交换，如下图所示。

这样有序区的元素增加到四个，如下图所示。

......

依次类推，直到整个数列的元素插入完毕，排序完成。

整个插入排序过程

下图是每一轮插入排序的结果。

说明：上述的排序过程没有记性优化，相关的优化可以参考下面的内容。

算法优化

注意：插入排序的算法优化不会降低算法的时间复杂度，只是减少了许多无谓的交换。

我们观察一下第三轮操作中，发现需要让元素 3 逐个与有序区的元素进行比较和交换，整个交换过程是：与 8 交换、与 6 交换、与 5 交换，最终交换到有序区的第一个位置。可以发现，并不需要进行着三次交换，算法可以进行优化。

只需要把元素 3 暂时保存起来，先把有序区的元素从左到右逐一复制，再将元素 3 插入到合适的位置即可。具体过程用图示说明。

第一步

暂存元素 3 ，入下图所示。

第二步

和前一个元素比较，由于 3 < 8，复制元素 8 到它下一个位置。如下图所示。

第三步

和前一个元素比较，由于 3 < 6，复制元素 6 到它下一个位置。如下图所示。

第四步

和前一个元素比较，由于 3 < 5，复制元素 5 到它下一个位置。如下图所示。

第五步

到达有序区的第一位，比较完成。将暂存的元素 3 赋值到数组的首位。如下图所示。

结论

显然，这样的优化减少了许多无谓的交换过程。

动图展示

算法性能

关键字比较次数记为C，记录移动次数记为M。

时间复杂度

1、当初始序列为正序时，只需要外循环 n-1 次，每次进行一次比较，无需移动元素。此时比较次数 $C_{min}$ 和移动次数 $M_{min}$ 达到最小。

$C_{min} = n - 1$ ， $M_{min} = 0$ ，此时时间复杂度为 $O(n)$ 。

2、当初始序列为反序时，需要外循环 n-1 次，每次排序中待插入的元素都要和 [0, i-1] 中的 i 个元素进行比较且要将这 i 个元素后移 i 次，加上 tmp = arr[i] 与 arr[j] = temp 的两次移动，每趟移动次数为 i+2，此时比较次数和移动次数达到最大值。

$C_{max}=1+2+\cdots +(n-1)=n\ast (n-1)/2=O(n^{2})$

$M_{max}=(1+2)+(2+2)+\cdots +(n-1+2)=(n-1)\ast (n+4)/2=O(n^{2})$

此时时间复杂度为 $O(n^{2})$ 。

空间复杂度

在直接插入排序中，需要了三个辅助变量，与数据规模无关，空间复杂度为 $O(1)$ 。

稳定性

稳定排序算法。因为相同元素的相对位置不变，如果两个元素相同，插入元素放在相同元素后面。

代码实现

C和C++

void insertionSort(int array[], int len) {if (len<2) {return 0;}for (int i=1; i<len; i++) {int insertValue = array[i];//暂存需要插入元素int j = i-1;//从右向左比较元素for (; j>=0 && insertValue<array[j]; j--) {array[j+1] = array[j];}array[j+1] = insertValue;}
}

Java

public static void insertionSort(int[] array) {if (null==array || 1==array.length) {return;}for (int i=1; i<array.length; i++) {int insertValue = array[i];//暂存需要插入元素int j = i-1;//从右向左比较元素for (; j>=0 && insertValue<array[j]; j--) {array[j+1] = array[j];}array[j+1] = insertValue;}
}

Python

def InsertionSort(arr):n = len(arr)for i in range(1,n):        temp = arr[i]# j保存元素temp应该插入的位置for j in range(i,-1,-1):if arr[j-1]>temp and j>0:arr[j] = arr[j-1]  # 后移即可else:breakarr[j] = temp

进一步优化

插入排序标准算法在有序区查找合适位置时，采用从左到右逐一查找的方法。

我们可以采用二分查找的方法来进一步优化。

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