雷达极化分解、极化目标分解相关

最近在学习极化雷达的目标检测问题，极化分解等知识，记录一些基础理论。

基础概念

之前一些博客看的基础知识汇总，对初学比较友好。

（1）Sinclair矩阵（极化矩阵、散射矩阵）：通常情况下，雷达目标在远场区的电磁散射特性是一个线性过程，如果选定了散射空间坐标系以及相应的极化基，那么雷达照射波和目标散射波的各极化分量之间存在着线性变换关系，因此，目标的变极化效应可以用一个复二维矩阵的形式来表示，称为Sinclair矩阵，它代表了特定姿态和观测频率下目标的全极化信息。如果水平、垂直极化波发射，水平、垂直极化波接收，则Es=S.Ei，此时，Sinclair矩阵可以表示为S=[Shh Shv; Svh Svv]，Shv物理意义上对应着以垂直极化照射目标时后向散射波的水平极化分量。可见，只考虑相对相位，Sinclair矩阵共有7个独立变量。称在单站情况下传播介质满足互易性条件的雷达目标为互易目标，此时Shv=Svh，即Sinclair矩阵只有5个独立变量（不考虑绝对相位）。

（2）Mueller矩阵：如果入射波和散射波分别用Stokes矢量gi和gs来表示，则gs=M.gi，这里的M即称为Mueller矩阵。Mueller矩阵是一个实矩阵，并且通常情况下它是非对称的。

（3）相干矩阵：如果利用Pauli基矩阵对Sinclair矩阵进行向量化可得：kp=(1/sqrt(2)).[Sxx+Syy; Sxx-Syy; Sxy+Syx; i.(Sxy-Syx)]，则称T=kp.kp’（“ ’ ”表示共轭转置）为相干矩阵。可见，相干矩阵是一个44的Hermit半正定矩阵，对于互易目标，相干矩阵的维数减少为33。

（4）协方差矩阵：如果直接对Sinclair矩阵进行向量化可得：kl=[Sxx; Sxy; Syx; Syy]，则称C=kl.kl’（“’”表示共轭转置）为协方差矩阵。可见，协方差矩阵也是一个4*4的Hermit半正定矩阵，对于互易目标，协方差矩阵的维数也减少为3 *3。此外，相干矩阵和协方差矩阵是一对相似矩阵，一方可以通过相似变换得到另一方。

（5）在描述极化散射矩阵时，许多文献习惯使用“极化”和“散射”两个词缀，譬如，称Mueller矩阵为Mueller散射矩阵，称相干矩阵为极化相干矩阵或相干散射矩阵，称协方差矩阵为极化协方差矩阵。个人认为：在PSAR领域，使用“极化”和“散射”两个词缀并无必要，这样一方面可以简化描述，另一方面也可以统一描述而不至于引起混淆。

（6）有些文献称Sinclair矩阵为2*2的相干散射矩阵。个人认为：这里“相干”的意义是相对于“一个分辨单元内”而言的，由于分辨单元尺寸远大于雷达波长尺寸，因此，一个分辨单元内存在着许多强散射点，而目标回波正是这些强散射点回波的相干叠加。可见，这里“相干”的意义与相干斑形成原理中“相干”的意义是一致的。

（7）有些文献也称Mueller矩阵和协方差矩阵为相干矩阵。个人认为：Mueller矩阵、相干矩阵和协方差矩阵中“相干”的意义是相对于“像素与像素之间”而言的，因为使用相干矩阵（包括Mueller矩阵和协方差矩阵）的重要意义在于求集合平均，此时与Sinclair矩阵的最大区别在于利用了像素与像素之间的相干信息，这就是通常利用相干矩阵（包括Mueller矩阵和协方差矩阵）进行滤波、目标分解等的原因。譬如，在Huynen类型的目标分解中，将相干矩阵{T}（“{.}”表示求集合平均）分解为秩1相干矩阵和N目标相干矩阵，这里的秩1相干矩阵有一个相对应的Sinclair矩阵。

（8）综上所述，Sinclair矩阵中“相干”的意义是相对于“一个分辨单元内”而言的，但Mueller矩阵、相干矩阵和协方差矩阵中“相干”的意义是相对于“像素与像素之间”而言的，两者的意义截然不同，因此，在使用极化散射矩阵时应分别对待。

关键词：相干矩阵（coherency matrix）、协方差矩阵（covariance matrix）、目标分解（target decomposition）

PS：
1．散射矩阵S可用来描述目标的变极化效应，但其适用对象是确定性目标，对于起伏目标，电磁散射特性不再是固定的，而是具有一定的随机性，这时就使用Mueller矩阵来刻画其散射特性。
2．还有一个与M矩阵很相似的矩阵—Kennaugh矩阵，只有最后一行的符号与Mueller矩阵不同（在BSA约定下），在有些地方这两个矩阵是混用的，他们包含的关于目标的电磁散射特性信息是完全相同的，但他们的物理意义不同。M矩阵用来描述目标的变极化效应，Kennaugh矩阵（简记为K）反映了雷达接收功率与收发天线的依赖关系，有公式：P=1/2*（Jt * K*Js），其中Jt，Js为入射波与散射波的Stockeds矢量。

极化分解

主要是三篇博士学位论文写得比较详细。
极化SAR图像分类方法研究周晓光国防科学技术大学
基于极化SAR的目标极化分解与散射特征提取研究安文韬清华大学
极化SAR图像分类技术研究吴永辉国防科学技术大学

Jones矩阵

设TEM波
E ( z , t ) = ( u x E x + u y E y ) e j ( ω t − k 0 z ) = ( u x A x e j δ x + u y A y e j δ y ) e j ( ω t − k 0 z ) E(z,t) = (\boldsymbol{u_x}E_x+\boldsymbol{u_y}E_y) e^{j(\omega t-k_0z)}\\ = (\boldsymbol{u_x}A_xe^{j\delta_x}+\boldsymbol{u_y}A_ye^{j\delta_y}) e^{j(\omega t-k_0z)} E(z,t)=(uxEx+uyEy)ej(ωt−k0z)=(uxAxejδx+uyAyejδy)ej(ωt−k0z)
其中 A x = ∣ E x ∣ , A y = ∣ E y ∣ A_x = |E_x|, A_y = |E_y| Ax=∣Ex∣,Ay=∣Ey∣。 k 0 = 2 π f / w k_0=2\pi f/w k0=2πf/w为波束
得
E Jones = [ A x exp ⁡ { j δ x } A y exp ⁡ { j δ y } ] \boldsymbol{E}_{\text {Jones }}=\left[\begin{array}{l}A_{x} \exp \left\{\mathrm{j} \delta_{x}\right\} \\A_{y} \exp \left\{\mathrm{j} \delta_{y}\right\}\end{array}\right] EJones =[Axexp{jδx}Ayexp{jδy}]
令 δ = δ y − δ x \delta=\delta_y - \delta_x δ=δy−δx, A = A x 2 + A y 2 A=\sqrt{A_x^2+A_y^2} A=Ax2+Ay2 , γ = t a n − 1 ( A y / A x ) \gamma=tan^{-1}(A_y/A_x) γ=tan−1(Ay/Ax)可得： E Jones = [ A x A y exp ⁡ { j δ } ] = A [ cos ⁡ γ sin ⁡ γ ⋅ exp ⁡ { j δ } ] \boldsymbol{E}_{\text {Jones }}=\left[\begin{array}{c}A_{x} \\A_{y} \exp \{\mathrm{j} \delta\}\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}\cos \gamma \\\sin \gamma \cdot \exp \{\mathrm{j} \delta\}\end{array}\right] EJones =[AxAyexp{jδ}]=A[cosγsinγ⋅exp{jδ}]

Stokes矢量

Jones矢量只适用于表示完全极化电磁波，此时电场矢量在的x和y轴上分量的均振幅为常数，且相位差恒定，电场矢端在xoy平面内描绘的极化椭圆具有恒定的参数。然而，在实际中，电磁波的电场矢端在xoy平面内的轨迹一般不是一个非时变的椭圆，而是一条形状和方向都随时间变化的类似椭圆的曲线，这种电磁波称为部分极化波。可见，完全极化波只是部分极化波的一种特例。显然，对于部分极化波需要引入其它描述方式。
因此对于部分极化波，引入Stokes矢量:
J = [ g 0 g 1 g 2 g 3 ] = [ 1 1 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 1 0 0 j − j ] [ E x E x ∗ E y E y ∗ E x E y ∗ E y E x ∗ ] = [ ∣ E x ∣ 2 + ∣ E y ∣ 2 ∣ E x ∣ 2 − ∣ E y ∣ 2 2 ∣ E x ∣ ⋅ ∣ E y ∣ ⋅ cos ⁡ δ 2 ∣ E x ∣ ⋅ ∣ E y ∣ ⋅ sin ⁡ δ ] J=\begin{gathered} \begin{bmatrix}g_{0}\\ g_{1}\\ g_{2}\\g_{3}\end{bmatrix} \end{gathered}= \left[\begin{matrix}{1}&{1}&{0}&{0}\\ {1}&{-1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1}&{1}\\ {0}&{0}&{\mathrm{j}}&{-\mathrm{j}}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{E_{x}E_{x}^{*}}\\ {E_{y}E_{y}^{*}}\\ {E_{x}E_{y}^{*}}\\ {E_{y}E_{x}^{*}}\\ \end{matrix}\right]\\ =\left[\begin{array}{c}{|E_{x}|^{2}+\left|E_{y}\right|^{2}}\\ {|E_{x}|^{2}-\left|E_{y}\right|^{2}}\\ {2|E_{x}|\cdot\left|E_{y}\right|\cdot\cos\delta}\\ {2|E_{x}|\cdot\left|E_{y}\right|\cdot\sin\delta}\end{array}\right] J= g0g1g2g3 = 11001−100001j001−j ExEx∗EyEy∗ExEy∗EyEx∗ = ∣Ex∣2+∣Ey∣2∣Ex∣2−∣Ey∣22∣Ex∣⋅∣Ey∣⋅cosδ2∣Ex∣⋅∣Ey∣⋅sinδ

上式中，常数矩阵为R，g可表示为：

g = R C ~ = R ( E ⊗ E ∗ ) g=R\tilde{C}=R(E\otimes E^*) g=RC~=R(E⊗E∗)
C为波相干矢量。
g 2 和 g 3 g_2和g_3 g2和g3可表示为 2 R e [ E x E y ∗ ] 2Re[E_xE_y^*] 2Re[ExEy∗]和 − 2 I m [ E x E y ∗ ] -2Im[E_xE_y^*] −2Im[ExEy∗]

易知，四个Stokes参数中只有三个独立，其关系为:

g 0 2 = g 1 2 + g 2 2 + g 3 2 g_0^{2}=g_1^{2}+g_2^{2}+g_3^{2} g02=g12+g22+g32
Stokes矢量 J J J与极化椭圆参数、 E j o n e s E_{jones} Ejones的关系为:
J = A 2 [ 1 cos ⁡ 2 ψ cos ⁡ 2 χ sin ⁡ 2 ψ cos ⁡ 2 χ sin ⁡ 2 χ ] = A 2 [ 1 cos ⁡ 2 γ sin ⁡ 2 γ cos ⁡ δ sin ⁡ 2 γ sin ⁡ δ ] \boldsymbol{J}=A^2\begin{bmatrix}1\\ \cos2\psi\cos2\chi\\ \sin2\psi\cos2\chi\\ \sin2\chi\end{bmatrix}=A^2\begin{bmatrix}1\\ \cos2\gamma\\ \sin2\gamma\cos\delta\\ \sin2\gamma\sin\delta\end{bmatrix} J=A2 1cos2ψcos2χsin2ψcos2χsin2χ =A2 1cos2γsin2γcosδsin2γsinδ
部分极化波的Stokes矢量可写为:
J = [ g 0 g 1 g 2 g 3 ] = [ g 1 2 + g 3 2 + g 3 2 g 1 g 2 g 3 ] + [ g 0 − g 1 2 + g 2 2 + g 3 2 0 0 0 ] \boldsymbol{J}=\begin{bmatrix}g_0\\g_1\\g_2\\g_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt{g_1^2+g_3^2+g_3^2}\\g_1\\g_2\\g_3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}g_0-\sqrt{g_1^2+g_2^2+g_3^2}\\0\\0\\0\end{bmatrix} J= g0g1g2g3 = g12+g32+g32 g1g2g3 + g0−g12+g22+g32 000
式中，右边第一项为完全极化波，第二项为完全非极化波。

散射矩阵和散射矢量

在后向散射坐标系一般用于单站情况，此时原点位于天线处的坐标系的z轴与目标散射波传播方向相反，前向坐标系一般用于双站情况中，雷达发射、接收的电磁波可以表示为：
{ E t = E V t v t + E H t h t E r = E V r v r + E H r h r \left\{\begin{array}{l}{\boldsymbol{E}_{t}=\boldsymbol{E}_{V}^{t}\boldsymbol{v}_{t}+\boldsymbol{E}_{H}^{t}\boldsymbol{h}_{t}}\\ {\boldsymbol{E}_{r}=E_{V}^{r}\boldsymbol{v}_{r}+E_{H}^{r}\boldsymbol{h}_{r}}\\ \end{array}\right. {Et=EVtvt+EHthtEr=EVrvr+EHrhr
式中， E t E_t Et和 E r E_r Er分别表示发射和接收电磁波矢量，v和h表示正交极化基。发射和接收的极化电磁波矢量式和之间的关系为：
E r = [ E H r E V r ] = e j k o R R S ⋅ E t = e j k o R R [ S HH S HV S VH S VV ] [ E H t E V t ] \boldsymbol E_r=\begin{bmatrix}E_H^{r}\\ E_V^{r}\end{bmatrix}=\frac{e^{jk_o R}}{R}\boldsymbol S\cdot E_t=\frac{e^{jk_o R}}{R}\begin{bmatrix}S_\text{HH}&S_\text{HV}\\ S_\text{VH}&S_\text{VV}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_H^t\\ E_V^t\end{bmatrix} Er=[EHrEVr]=RejkoRS⋅Et=RejkoR[SHHSVHSHVSVV][EHtEVt]
式中 r r r为散射目标与接收天线之间的距离， k 0 k_0 k0为电磁波波数。
散射矩阵定义为:
S = [ S H H S H V S V H S V V ] \boldsymbol{S}=\begin{bmatrix}S_{\mathrm{HH}}&S_{\mathrm{HV}}\\ S_{\mathrm{VH}}&S_{\mathrm{VV}}\end{bmatrix} S=[SHHSVHSHVSVV]
散射矩阵S可矢量化为散射矢量:
x = [ S H H S H V S V H S V V ] T \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}S_{\mathrm{HH}}\quad S_{\mathrm{HV}}\quad S_{\mathrm{VH}}\quad S_{\mathrm{VV}}\end{bmatrix}^{\mathsf{T}} x=[SHHSHVSVHSVV]T

由S可得 G = S H S G=S^HS G=SHS，即：
G = S H S = [ ∣ S H H ∣ 2 + ∣ S V H ∣ 2 S H H ∗ S H V + S V H ∗ S V V S H V ∗ S H H + S V V ∗ S V H ∣ S H V ∣ 2 + ∣ S V V ∣ 2 ] G=S^{{H}}S=\begin{bmatrix}\left|S_{\mathrm{HH}}\right|^2+\left|S_{\mathrm{VH}}\right|^2&S_{\mathrm{HH}}^*S_{\mathrm{HV}}+S_{\mathrm{VH}}^*S_{\mathrm{VV}}\\ S_{\mathrm{HV}}^*S_{\mathrm{HH}}+S_{\mathrm{VV}}^*S_{\mathrm{VH}}&\left|S_{\mathrm{HV}}\right|^2+\left|S_{\mathrm{VV}}\right|^2\end{bmatrix} G=SHS=[∣SHH∣2+∣SVH∣2SHV∗SHH+SVV∗SVHSHH∗SHV+SVH∗SVV∣SHV∣2+∣SVV∣2]
矩阵G 称为Graves 矩阵，由于与散射波的功率密度有直接关系，也称功率矩阵或功率密度矩阵。实际上，假设入射波Jones 矢量为E ，则目标散射回波的功率密度即为 P s = E H G E P_s =E^HGE Ps=EHGE 。

单站雷达成像满足互易定理，即收发天线位置互换时，后向散射测量值不变，此时 S H V = S V H S_{HV}=S_{VH} SHV=SVH,散射矢量为:
x = [ S H H 2 S H V S V V ] T \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}S_{\mathrm{HH}}&\sqrt{2}S_{\mathrm{HV}}&S_{\mathrm{VV}}\end{bmatrix}^{\mathsf{T}} x=[SHH2 SHVSVV]T
采用Pauli基分解S得到：
k = 1 2 [ S H H + S V V S H H − S V V 2 S H V ] T \boldsymbol{k}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[S_{{HH}}+S_{{VV}}\quad S_{{HH}}-S_{{VV}}\quad2S_{{HV}}\right]^{\mathsf{T}} k=2 1[SHH+SVVSHH−SVV2SHV]T
Pauli基为：
σ 1 = [ 1 0 0 1 ] , σ 2 = [ 1 0 0 − 1 ] , σ 3 = [ 0 1 1 0 ] , σ 4 = [ 0 j − j 0 ] \sigma_1=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix},\quad\sigma_2=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&-1\end{bmatrix},\quad\sigma_3=\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0\end{bmatrix},\quad\sigma_4=\begin{bmatrix}0&\text{j}\\ -\text{j}&0\end{bmatrix} σ1=[1001],σ2=[100−1],σ3=[0110],σ4=[0−jj0]
x x x记录的是各极化通道的后向散射测量值，而 k k k的各元素则分别表示表面散射、二面角散射和45°倾斜的二面角散射。

Muller矩阵