CF1012C Hills

题目描述

Welcome to Innopolis city. Throughout the whole year, Innopolis citizens suffer from everlasting city construction.

From the window in your room, you see the sequence of n n n hills, where i i i -th of them has height a i a_i ai . The Innopolis administration wants to build some houses on the hills. However, for the sake of city appearance, a house can be only built on the hill, which is strictly higher than neighbouring hills (if they are present). For example, if the sequence of heights is 5 , 4 , 6 , 2 5,4,6,2 5,4,6,2 , then houses could be built on hills with heights 5 5 5 and 6 6 6 only.

The Innopolis administration has an excavator, that can decrease the height of an arbitrary hill by one in one hour. The excavator can only work on one hill at a time. It is allowed to decrease hills up to zero height, or even to negative values. Increasing height of any hill is impossible. The city administration wants to build k k k houses, so there must be at least k k k hills that satisfy the condition above. What is the minimum time required to adjust the hills to achieve the administration’s plan?

However, the exact value of k k k is not yet determined, so could you please calculate answers for all k k k in range 1 ≤ k ≤ ⌈ n 2 ⌉ 1\leq k \leq \lceil \frac n2\rceil 1≤k≤⌈2n⌉? Here ⌈ n 2 ⌉ \lceil \frac n2\rceil ⌈2n⌉ denotes n n n divided by two, rounded up.

输入格式

第一行一个正整数 n n n。

第二行 n n n 个正整数 a i a_i ai。

输出格式

一行 ⌈ n 2 ⌉ \left\lceil\dfrac{n}{2}\right\rceil ⌈2n⌉ 个数，第 i i i 个数代表 k = i k=i k=i 时的答案

样例1

样例输入1

5
1 1 1 1 1

样例输出1

1 2 2

样例2

样例输入2

3
1 2 3

样例输出2

0 2

样例3

样例输入3

5
1 2 3 2 2

样例输出3

0 1 3

数据范围

1 ≤ n ≤ 5000 1≤n≤5000 1≤n≤5000

1 ≤ a i ≤ 100000 1≤ai≤100000 1≤ai≤100000

题目大意

给你 n n n个数，你一次操作可以把某一个数减一（可以减为负数），你的目标是使任意的 k k k个数严格大于它旁边的两个数（第一个数只用严格大于第二个数，第 n n n个数只用严格大于第 n − 1 n-1 n−1个数），问最少需要几次操作。 k k k是不确定的，请输出 k ∈ [ 1 , ⌈ n 2 ⌉ ] k\in[1,\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil] k∈[1,⌈2n⌉] 时的答案。

题解

设 f i , j f_{i,j} fi,j表示前 i i i个中有 j j j个被选中，且第 i i i个被选中所需的最小时间。则状态转移式为：

f i , j = min ⁡ ( min ⁡ k = 1 i − 2 f k , j − 1 + w i − 1 , i , f i − 2 , j − 1 + max ⁡ ( w i − 1 , i , w i , i + 1 ) ) f_{i,j}=\min(\min\limits_{k=1}^{i-2}{f_{k,j-1}+w_{i-1,i}},\quad f_{i-2,j-1}+\max(w_{i-1,i},w_{i,i+1})) fi,j=min(k=1mini−2fk,j−1+wi−1,i,fi−2,j−1+max(wi−1,i,wi,i+1))

其中 w i , j w_{i,j} wi,j表示将 a i a_i ai的高度减少至 a i < a j a_i<a_j ai<aj，显然 w i , j = max ⁡ ( 0 , a i − a j + 1 ) w_{i,j}=\max(0,a_i-a_j+1) wi,j=max(0,ai−aj+1)。不需要预处理，用的时候直接求即可。

当然，如果这样做，时间复杂度为 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)，会TLE，所以我们考虑优化。

可以发现，每次都会用到 min ⁡ k = 1 i − 2 f k , j − 1 + w i − 1 , i \min\limits_{k=1}^{i-2}{f_{k,j-1}+w_{i-1,i}} k=1mini−2fk,j−1+wi−1,i。所以我们设 g i , j = min ⁡ k = 1 i − 2 f k , j − 1 + w i − 1 , i g_{i,j}=\min\limits_{k=1}^{i-2}{f_{k,j-1}+w_{i-1,i}} gi,j=k=1mini−2fk,j−1+wi−1,i，每次求 f f f值时顺便更新 g g g值，最后 min ⁡ j = i n f j , i \min\limits_{j=i}^n f_{j,i} j=iminnfj,i即为选 i i i座山的答案。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100005];
long long ans,g[5005],f[5005][2505];
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}for(int i=0;i<=n;i++){for(int j=1;j<=(n+1)/2;j++) f[i][j]=1e18;g[i]=1e18;}for(int i=1;i<=n;i++){f[i][1]=max(0,a[i-1]-a[i]+1)+max(0,a[i+1]-a[i]+1);}for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=2;j<=(i+1)/2;j++){f[i][j]=min(g[j-1]+max(0,a[i-1]-a[i]+1),f[i-2][j-1]-max(0,a[i-1]-a[i-2]+1)+max(0,a[i-1]-min(a[i],a[i-2])+1))+max(0,a[i+1]-a[i]+1);}for(int j=1;j<=(i+1)/2;j++){g[j]=min(g[j],f[i-2][j]);}}for(int i=1;i<=(n+1)/2;i++){ans=1e18;for(int j=i;j<=n;j++) ans=min(ans,f[j][i]);printf("%lld ",ans);}return 0;
}

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