抽签问题或是超几何概率
在一个冒险游戏里,你见到一个宝箱,身上有N把钥匙,其中一把可以打开宝箱,加入没有任何提示,随机尝试,问:
(1) 恰好第k次(1=<K=<N)打开宝箱的概率是多少?
(2) 平均需要尝试多少次?
本题中最大的焦点在于问题(1),网上给出了两种互相矛盾的结果 1/N 和 (((N-1)/N)^(K-1))*(1/N). 经过仔细推敲,发现了其中的原因。
首先,看一下抽签问题:
N只签里面有一只好签,N个人按照排定的顺序从中各抽一张,抽签顺序有先后,这样对每个人都公平吗?也即每个人抽到好签的概率相对吗?
解:第i(1=<i<=N)个人抽到好签的概率 pi = A(i-1,N-1)/A(i,N) = 1/N。
结果显示每个人抽到好签的概率是相等的。
把上述抽签问题的描述改动一下:
N只签里面有一只好签,N个人按照排定的顺序从中有放回的各抽一张,直到有人抽中好签为止,抽签顺序有先后,这样对每个人都公平吗?也即每个人抽到好签的概率相对吗?
解:第i(1=<i<=N)个人抽到好签的概率 pi = ((1-1/N)^(i-1))*(1/N) = (((N-1)/N)^(i-1))*(1/N)。
结果显示每个人抽到好签的概率是不相等的。(该题目实际上符合概率中的几何分布)
通过抽签问题的求解发现,导致不同概率结果的原因在于是否是有放回的操作。
对于钥匙开门这个问题,如果已经尝试过的不正确钥匙在下一次开门尝试中不被考虑,那么这就是一个无放回的抽签(抽奖)问题,结果应该是1/N;否则结果就是(((N-1)/N)^(K-1))*(1/N)。
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