抽签问题（算法例题讲解）

抽签问题

时间：4.28

本次学习记录来源于《挑战程序设计竞赛（第2版）》

抽签问题

题目描述：
你的朋友提议玩一个游戏:将写有数字的n个纸片放入口袋中，你可以从口袋中抽取4次纸片，每次记下纸片上的数字后都将其放回口袋中。如果这4个数字的和是m，就是你赢，否则就是你的朋友赢。你挑战了好几回，结果一次也没赢过，于是怒而撕破口袋，取出所有纸片，检查自己是否真的有赢的可能性。请你编写一个程序，判断当纸片上所写的数字是k,k2，…, k,时，是否存在抽取4次和为m的方案。如果存在，输出 Yes;否则，输出 No。

限制条件：
1 ≤ n ≤ 50
1 ≤ m ≤ 10^8
1≤ ki ≤10^8

题目分析：
这题的常规想法肯定是用四个for循环来写，但是很显然这样行不通，指数时间在数据大的时候定会超时。这个时候就要优化一下算法。
首先想到的一点是改进搜索方法，把常规的顺序搜索改为二分搜索这样就会大大提升效率。
其次是优化内层循环呀，这个四层循环简直是累死人啊，所以最内层的循环可以采用一种巧妙的方法来替换掉。
还可以继续改进，把最后两层循环都改进一下，构建一个数据枚举前两次循环的两数之和，用以作为最后一层循环的判断条件。以达到最优的效果。

参考代码：

//未优化前，时间复杂度O(n^4)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int n, m;cin >> n >> m;int a[n];for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> a[i];}bool flag = false;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {for (int k = 0; k < n; k++) {for (int l = 0; l < n; l++) {if (a[i] + a[j] + a[k] + a[l] == m) {flag = true;}}}}}if (flag) {cout << "Yes" << endl;}else {cout << "No" << endl;}return 0;
}

//优化一次后，时间复杂度O(n^3logn)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;bool binary_search(int a[], int n, int x) {int l = 0, r = n - 1;sort(a, a + n);while (l <= r) {int mid = (l + r) / 2;if (a[mid] == x) {return true;}else if (a[mid] < x) {l = mid + 1;}else {r = mid - 1;}}return false;
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;int a[n];for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> a[i];}bool flag = false;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {for (int k = 0; k < n; k++) {//这个条件就是通过判断等式移项而来，这样就省去了一层循环if (binary_search(a, n, m - a[i] - a[j] - a[k])) {flag = true;}}}}if (flag) {cout << "Yes" << endl;}else {cout << "No" << endl;}return 0;
}

//第三次优化循环，使时间复杂度缩减到了O(n^2logn)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;bool binary_search(int aa[], int n, int x) {int l = 0, r = n - 1;while (l <= r) {int mid = (l + r) / 2;if (aa[mid] == x) {return true;}else if (aa[mid] < x) {l = mid + 1;}else {r = mid - 1;}}return false;
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;int a[n];int aa[n * n];  //保存两个数的和的数列for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> a[i];}for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {aa[i * n + j] = a[i] + a[j];}}sort(aa, aa + n * n);bool flag = false;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (binary_search(aa, n * n, m - a[i] - a[j])) {flag = true;}}}if (flag) {cout << "Yes" << endl;}else {cout << "No" << endl;}return 0;
}

本次刷题心得：
温习了一遍二分搜索，还学会了两个优化小技巧，通过把判断等式移项来获得一个新的判断条件，另一个是，可以通过构建一个数组来储存两次循环的结果，以此来代替循环真的是妙啊。

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