[Luogu P2860] [BZOJ 1718] [USACO06JAN]冗余路径Redundant Paths

题目描述

为了从 F ( 1 ≤ F ≤ 5000 ) F(1≤F≤5000) F(1≤F≤5000)个草场中的一个走到另一个，贝茜和她的同伴们有时不得不路过一些她们讨厌的可怕的树．奶牛们已经厌倦了被迫走某一条路，所以她们想建一些新路，使每一对草场之间都会至少有两条相互分离的路径，这样她们就有多一些选择．

每对草场之间已经有至少一条路径．给出所有 R ( F − 1 ≤ R ≤ 10000 ) R(F-1≤R≤10000) R(F−1≤R≤10000)条双向路的描述，每条路连接了两个不同的草场，请计算最少的新建道路的数量, 路径由若干道路首尾相连而成．两条路径相互分离，是指两条路径没有一条重合的道路．但是，两条分离的路径上可以有一些相同的草场．对于同一对草场之间，可能已经有两条不同的道路，你也可以在它们之间再建一条道路，作为另一条不同的道路．

注：给定的路径如有重复的算为一条！！

输入输出格式

输入格式

第一行两个正整数 n , m n,m n,m。

以下 m m m行，每行两个正整数 a i , b i a_i,b_i ai,bi，表示编号为 a i a_i ai和 b i b_i bi的草场之间有一条无向边。

输出格式

一行一个整数，表示最少需要添加的路径数。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

解题分析

先缩边双，同一个边双内肯定是满足条件的。

然后这个图就变成了一棵树。发现问题在叶节点上面：我们肯定需要连接两个叶节点使其可以在一个环内。

那么这个下限是多少？实际上设叶节点个数为 k k k，答案就是 ⌈ k 2 ⌉ \lceil \frac{k}{2}\rceil ⌈2k⌉。

这是因为我们总可以找到一个点作为根节点，使其最大的一棵子树大小 ≤ ⌈ k 2 ⌉ \le \lceil \frac{k}{2} \rceil ≤⌈2k⌉。

然后我们就可以保证存在至少一种方案，每次选取的两个点连成环之后会经过这个根节点，这样再缩边双后就等于消去了两个叶节点。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <map>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define ll long long
#define MX 10050
template <class T>
IN void in(T &x)
{x = 0; R char c = gc;for (; !isdigit(c); c = gc);for (;  isdigit(c); c = gc)x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
template <class T> IN T max(T a, T b) {return a > b ? a : b;}
template <class T> IN T min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}
int n, m, tot, cnt, top, col, ecnt;
struct E {int from, to;} e[MX];
IN bool operator < (const E &x, const E &y)
{return x.from == y.from ? x.to < y.to : x.from < y.from;}
struct Edge {int to, nex;} edge[MX << 1];
int head[MX], dfn[MX], low[MX], bel[MX], sta[MX], deg[MX];
IN void add(R int from, R int to)
{edge[++cnt] = {to, head[from]}, head[from] = cnt;}
std::map <E, bool> mp;
void DFS(R int now, R int fa)
{dfn[now] = low[now] = ++tot;sta[++top] = now;for (R int i = head[now]; i; i = edge[i].nex){if (edge[i].to == fa) continue;if (!dfn[edge[i].to]){DFS(edge[i].to, now);low[now] = min(low[now], low[edge[i].to]);}else low[now] = min(low[now], dfn[edge[i].to]);}if (dfn[now] == low[now]){bel[now] = ++col;W (sta[top] ^ now) bel[sta[top--]] = col;--top;}
}
int main(void)
{in(n), in(m); int foo, bar, ans = 0;for (R int i = 1; i <= m; ++i){in(foo), in(bar);if (foo > bar) std::swap(foo, bar);if (mp[{foo, bar}]) continue;mp[{foo, bar}] = true;add(foo, bar), add(bar, foo), e[++ecnt] = {foo, bar};}for (R int i = 1; i <= n; ++i) if (!dfn[i]) DFS(i, 0);for (R int i = 1; i <= ecnt; ++i)if (bel[e[i].from] ^ bel[e[i].to]) ++deg[bel[e[i].from]], ++deg[bel[e[i].to]];for (R int i = 1; i <= col; ++i) if (deg[i] == 1) ++ans;printf("%d", ans + 1 >> 1);
}