前言

不知道有的小伙伴有时候会不会学着学着突然怀疑起来，电磁波的波函数为什么有时候用 A c o s ( k r − w t ) Acos(kr-wt) Acos(kr−wt)三角函数表示，而有时候却用 e x p ( i k z ) exp(ikz) exp(ikz)来表示， c o s ( k r − w t ) cos(kr-wt) cos(kr−wt)不是已经完全体现了简谐波振幅相位频率等等因素了吗，为什么还要用指数来表示？接下来笔者将为大家详细解释一下。

结论

老规矩先直接给结论：哪种方式计算方便用哪种
根据欧拉公式 e i x = ( c o s x + i s i n x ) e^ {ix}= (cos x+isin x) eix=(cosx+isinx)，波函数 e x p ( i k z ) exp(ikz) exp(ikz)展开后的虚数部分并没有实际物理意义，引入复数只是为了计算方便

分析

平面简谐电磁波的波函数是来源于波动方程的通解
E = A c o s ( w ( z v − t ) ) E= Acos(w(\frac{z}{v}-t)) E=Acos(w(vz−t))（电场）
B = A ′ c o s ( w ( z v − t ) ) B= A^{'}cos(w(\frac{z}{v}-t)) B=A′cos(w(vz−t))（磁场）

而沿着任一方向k传播的平面简谐波波函数则为
E = A c o s ( k r − w t ) E= Acos(kr-wt) E=Acos(kr−wt)（电场）
B = A ′ c o s ( k r − w t ) B= A^{'}cos(kr-wt) B=A′cos(kr−wt)（磁场）
其中波矢 k = 2 π λ = w v k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{w}{v} k=λ2π=vw

上述波函数是实数形式的波函数，它也可以写成复数形式
E = A e x p [ i ( k r − w t ) ] E=Aexp[i(kr-wt)] E=Aexp[i(kr−wt)]，根据欧拉方程，即
E = A [ c o s ( k r − w t ) + i s i n ( k r − w t ) ] E=A[cos(kr-wt)+isin(kr-wt)] E=A[cos(kr−wt)+isin(kr−wt)]
其中虚数部分 i s i n ( k r − w t ) isin(kr-wt) isin(kr−wt)无物理意义

这种代替完全是形式上的，其目的是用复指数函数运算代替三角函数运算，使计算简化，另外可证明，对复数表达式进行线性运算（加减微分积分）后再取实数部分与对余弦函数进行同样运算所得到的结果相同。

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