1、G = ⟨a⟩ 是一个 15 阶循环群。请写出 G 的所有生成元和所有子群。

解答：
G的生成元：a¹, a², a⁴, a⁷, a⁸, a¹¹, a¹³, a¹⁴
G的子群：
15的正因子是1,3,5,15，因此G的子群是：
15阶子群：⟨a⟩=G
5阶子群：⟨a³⟩= {a³, a⁶, a⁹, a¹², a¹⁵}
3阶子群：⟨a⁵⟩= {a⁵, a¹⁰, a¹⁵}
1阶子群：⟨a¹⁵⟩= {1}

2、考虑群 G 的一个子群 H，请证明 H 在 G 中的右陪集中，只有一个右陪集是 G 的子群。

解答：
设a ∈ G，则Ha= {ha | h∈ H} ，如果Ha是子群，则单位元e属于Ha，即存在H中的元h，e=ha, a=h^-1，H是子群，故a也属于H；于是对任意H中的元h有ha属于H，即Ha包含于H，对任意H中元h，h=aa^-1h，由于a^-1h属于H，H包含于Ha，故Ha=H。

3、考虑有限群 G 和它的子群 H，|G| = mk，|H| = m, m 和 k 均为正整数。请证明，对于任意的 a ∈ G，都存在正整数 n，1 ≤ n ≤ k，使得 aⁿ ∈ H。

解答：
由拉格朗日定理：|G|=|H| · [G:H]
且|G| = mk，|H| = m， [G:H] =k
任意的 a ∈ G, 是G的子群，的阶与|a|=k相等，所以|a|是n的因子
所以aⁿ=e，因为H为G的子群，所以e∈ H，所以 aⁿ ∈ H

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