现代公钥密码学基于的三大数学问题

大整数因数分解问题

给定两个大素数p,q,计算乘积 p∗q=np*q=np∗q=n很容易；
给定大整数n，求n的素因素p,q使得 n=p∗qn=p*qn=p∗q非常困难.

离散对数问题

已知 a;
- 计算 g^a = h；得出h很简单
已知 h;
- 计算 g^a = h；得出a非常困难

椭圆曲线离散对数问题（转）

已知有限域F_p上的椭圆曲线点群
E(Fp)=(x,y)∈Fp×Fp∣y²=x³+ax+b,a,b∈Fp∪OE(F_p)={(x,y)∈F_p×F_p∣y²=x³+ax+b,a,b∈F_p}∪{O}E(Fp)=(x,y)∈Fp×Fp∣y²=x³+ax+b,a,b∈Fp∪O
点P=(x,y)的阶为一个大素数.
Ⅰ）给定整数a，计算整数x，使得xP=(x_a,y_a)=Q很容易；
Ⅱ）给定点Q，计算整数x，使得xP=Q非常困难.
例3 P=10823是一个素数，有限域F_p=Z/pZ上的椭圆曲线点群
E(Fp)=(x,y)∈Fp×Fp∣y²=x³+3x+7∪OE(F_p)={(x,y)∈F_p×F_p∣y²=x³+3x+7}∪{O}E(Fp)=(x,y)∈Fp×Fp∣y²=x³+3x+7∪O
∣E(Fp)∣=100482=2⋅3⋅16747.E(Fp)∣E(F_p)∣=100482=2·3·16747.E(F_p)∣E(Fp)∣=100482=2⋅3⋅16747.E(Fp)
的生成元为P0=(1,8811)P_0=(1,8811)P0=(1,8811)
点P=6P0=(62046,14962)P=6P_0=(62046,14962)P=6P0=(62046,14962)的阶为素数16747。
Ⅰ) 给定a=1007，计算aP=(80726,17229)=Q很容易；
Ⅱ) 给定点Q=(80726,17229)，求整数x使得xP=Q很困难。

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