史密斯（Smith）圆图

反射系数圆图阻抗/导纳圆图史密斯圆图

1、反射系数圆图

反射系数：

$r(z)=\frac{z_{in}-z_{0}}{z_{in}+z_{0}}=\frac{\frac{z_{in}}{z_{0}}-1}{\frac{z_{in}}{z_{0}}+1}=|r_{1}|e^{j(\phi _{1}-2\beta z)}=|r_{1}|e^{j\phi}$

其中 $z_{in}$ 为输入阻抗， $z_{0}$ 为传输线特性阻抗， $\frac{z_{in}}{z_{0}}$ 为归一化输入阻抗。

$r_{1}=\frac {z_{l}-z_{0}} {z_{l}+z_{0}}=|r_{1}|e^{j\phi _{1}}$ 为终端反射系数，负载指向电源方向为z轴正向。

$|r_{1}|$ 为反射系数的模值， $\phi$ 为其相角，以 $r(z)$ 的实部为横轴，虚部为纵轴，即可绘制二维反射系数圆图：

由于负载指向电源方向为z轴正向，靠近负载方向 $\phi$ 值大，逆时针方向为负载方向。

补充概念：

电长度 $\frac {z}{\lambda }$ ：距离电源的波长数。

反射系数的相角中：

$-2\beta z=-2\frac{2\pi }{\lambda }z=-4\pi \frac{z}{\lambda}$

电长度只与 $-2\beta z$ 相差一个常系数。一个 $\frac{\lambda}{2}$ 即覆盖反射系数一个周期，与输入阻抗的 $\frac{\lambda}{2}$ 周期相对应。

2、阻抗圆图

归一化输入阻抗:

$\bar{z_{in}}=\frac {z_{in}} {z_{0}}=\frac {1+r(z)} {1-r(z)}=\frac {1+r_{u}(z)+jr_{v}(z)} {1-r_{u}(z)-r_{v}(z)}=R+jX$ （2.1）

其中 $r_{u}(z)$ 为 $r(z)$ 的实部， $r_{v}(z)$ 为 $r(z)$ 的虚部，整理式（2.1）可得：

$\left\{\begin{matrix} (r_{u}-\frac{R}{1+R})^2+r_{v}^2=(\frac{1}{1+R})^2\\ (r_{u}-1)^2+(r_{v}-\frac {1}{x})^2=(\frac {1}{x})^2 \end{matrix}\right.$

以 $r(z)$ 的实部为横轴，虚部为纵轴，电阻圆图为以（R/(1+R)，0）为圆心，1/(1+R)为半径的圆，如下图：

以 $r(z)$ 的实部为横轴，虚部为纵轴，电抗圆图为以（0，1/x）为圆心，1/x为半径的圆，如下图：

3、史密斯圆图：反射系数圆图+阻抗/导纳圆图。输入阻抗不易直接测得，通过测量反射系数间接获得输入阻抗值。史密斯圆图中反射系数和输入阻抗一一对应。

史密斯圆图的应用：

已知传输线的特性阻抗 $z_{0}$ =50Ω，传输线的负载阻抗为 $z_{l}$ =(50+j50)Ω，求离负载z=0.1λ处的等效阻抗。

解： $\bar{z_{l}}$ = $z_{l}$ / $z_{0}$ =1+j1 R=1 X=1

找到R=1的电阻圆和X=1的电抗圆的交点A，连接OA并延长交电长度刻度圆于B，OA顺时针旋转电长度0.1λ交电长度刻度圆于C，连接OC，交c1于P（据此读出|r|和Φ），过P点的R和X就是离负载z=0.1λ处的归一化输入阻抗 $z_{in}$ ， $z_{in}=\bar{z_{in}} z_{0}$ 。

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