BM3D算法学习总结
最近看了一些关于图像去噪的论文，从传统的基于统计的方法，到现在很火的利用深度学习来进行去噪的方法。今天分享一篇在去噪领域算是标杆的算法，文章名称为 Image Denoising by Sparse 3-D Transform-Domain CollaborativeFiltering。简称为BM3D。
该算法由两部分组成（step1和step2），每一步的处理有一些不同，但大体相同。
该算法基于这样一个假设，通过一组基础元素的线性组合，真实的信号能够被很好的近似的表示出来。
信号在转换域被稀疏的表示出来。通过保存信号在转换域内高幅度的转换系数（传递大部分真实信号的能量），将剩余的系数（主要包含噪声）舍弃，真实的信号就能被很好的估计
step1
grouping by block-matching
首先是对噪声图像进行操作。首先选定一个参考块ZxRZ_{xR}ZxR,以其左上点的坐标值为中心，设置一个一定大小的窗口，利用以下公式计算出当前块与参考块的相似度
其中，τ2Dht\tau_{2D}^{ht}τ2Dht是二维线性转换，常用的有二维离散余弦变换，γ′\gamma^{'}γ′为硬阈值函数，但是在代码中没有体现。N1htN^{ht}_1N1ht为参考块的大小。
通过这个公式，计算出窗口内所有的图像块与参考块的ddd,即相似性，将满足以下条件的图像块的坐标和图像块分别保存
τmatchht\tau_{match}^{ht}τmatchht是阈值，在编写代码时，将各个图像块的相似度计算出来，满足以上条件的将其保存（图像块和坐标），然后进行排序，如果满足条件的图像块的数目多于我们所设置的块数，选择前n（设置的最大的块数）个相似度最大的块。否则将全部的块保存。
通过上面的步骤，找到了以一个图像块为参考，与其相似度比较大的块的集合，为一个三维的数组，用ZSxRht\textbf{Z}_{S^{ht}_{x_R}}ZSxRht表示，接下俩对其进行collaborativ filtering（协同滤波）。
collaborative filtering（协同滤波）
在该步骤中，是按位置进行操作，每一次都取出同一组同一位置的像素，组成一个数组，对其进行操作。
首先，对ZSxRht\textbf{Z}_{S^{ht}_{x_R}}ZSxRht进行三维离散变换，之前在block-matching时，已经对图像块进行二维离散变换，我们将之前的计算结果保存，利用变换的可分性，取出group中相同位置、不同图像块中的像素，对其进行二维离散变换。通过以上操作，将三维离散变换τ3Dht\tau_{3D}^{ht}τ3Dht转换为二维离散变换，提高计算效率。可参考二维离散变换的可分性 二维离散变换.，三维变换类似。
然后上面的结果进行硬阈值变换γ′\gamma^{'}γ′，去掉较小的频率部分，赋值为0。在这里要记录这一组中非零元素的个数NharxRN^{x_{R}}_{har}NharxR。
最后进行反变换τ3Dht−1{\tau_{3D}^{ht}}^{-1}τ3Dht−1，将最后的结果赋值给原来的位置。
到此，得到的结果在文中被命名为Block-wise estimates。
Aggregation 聚合
通过之前的滤波，图像中的大部分噪声被滤除，接下来打算将滤波后的图像块恢复到原来的位置。因为组之间的图像块之间存在重叠相交的情况，即过完备。如何复原对去噪的结果也有很大的影响。
在存在相交的位置，采用权值平均的方法来进行聚合复原，权值通过如下函数进行设置。
简单分析一下权重这么设置的原因：其实我也不太清楚哈，不过这的确需要好好思考，先放在这吧
接下来，对图像进行初步去噪。
到此，step1完成
step2
step2 在block-matching 步骤与step1不同，是对第一步Basic estimates 和噪声图像都进行操作。
首先在Basic estimates中选择一个参考块，计算二维离散余弦变换，将噪声图中相对应位置的图像块也进行二维离散余弦变换，分别将其保存。
在Basic estimates 中，以参考块左上角坐标为中心，设置一个窗口，在这个窗口内按照下式找到与其相似的图像块，组成一个group。
SxRwieS^{wie}_{x_R}SxRwie是符合条件的坐标组成的数组，目的是在Basic estimates和噪声图中找到相应的图像块，组成两个group，分别用YSxRwiebasic\textbf{Y}^{basic}_{S^{wie}_{x_R}}YSxRwiebasic和ZSxRwie\textbf{Z}_{S^{wie}_{x_R}}ZSxRwie表示。
利用下式定义维纳收缩系数
τ3Dwie\tau_{3D}^{wie}τ3Dwie为三维离散变换，σ\sigmaσ为噪声偏差。
再利用下式对ZSxRwie\textbf{Z}_{S^{wie}_{x_R}}ZSxRwie进行计算，得到每组的估计
同样，在该步骤中，是按位置进行操作，每一次都取出同一组同一位置的像素，组成一个数组，对其进行操作。
Aggregation 聚合
与step1同样的方式进行整合，得到最后的去噪图像
实验分析
我测试了一下这个算法的去噪效果。
从图中可以看出，这个方法的处理效果还是不错的，图像中物体细节的恢复很不错，但是一些细节被平滑掉。我之前用房屋的那个房子进行去噪，去噪后大部分细节全部丢失。
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