近世代数-群论基础一

半群与群

半群：在集合，任意x,yx,yx,y经过一元运算x∘yx\circ yx∘y 得到的结果依然是在该集合内的，且满足结合律

幺半群：在半群的基础上引入幺元（单位元）

定理2.1：括号的添加方式（位置）与结果无关

群：每个元素都可逆的幺半群

定义：非空集GGG按它的二元运算∘\circ∘，形成群当且仅当

GGG对运算∘\circ∘封闭，即a,b∈G⇒a∘b∈Ga,b\in G\Rightarrow a\circ b\in Ga,b∈G⇒a∘b∈G

运算∘\circ∘ 满足结合律

有单位元

每个元都可逆，即a∈Ga\in Ga∈G时有b∈Gb\in Gb∈G使得a∘b=e=b∘aa\circ b=e=b\circ aa∘b=e=b∘a

另外，一般把集合XXX的基数记为∣X∣|X|∣X∣，对于有限集合中基数∣X∣|X|∣X∣就是XXX中的元素总个数

若群GGG中元素有限，则称为有限群，其元素总个数∣G∣|G|∣G∣称为GGG的阶，当∣G∣=n|G|=n∣G∣=n时称GGG为n阶群

在群的基础上若满足交换律，则称GGG为Abel群或交换群

定理2.3：当半群满足可除性条件，对任何a,b∈Ga,b\in Ga,b∈G，方程ax=bax=bax=b与ya=bya=bya=b在GGG中都有解，半群形成群

定理2.4：设GGG为群，则GGG中有消去律

当有限半群GGG中具有消去律，则GGG必为消去律（特殊地，自然数数集NNN按加法形成具有消去律的半群不是群）

群的例子

数论的例子

Pell方程

Gd={x+yd:x,y∈Z且x2−dy2=1}G_d=\{x+y\sqrt d:x,y\in \mathbb Z且x^2-dy^2=1\}Gd={x+yd:x,y∈Z且x2−dy2=1}，按数的乘法形成Abel群

线性代数的例子

矩阵

GLn(R)={n阶实方阵A:detA≠0}GL_n(\mathbb R)=\{n阶实方阵A:det~A\neq 0\}GLn(R)={n阶实方阵A:det A=0}以及SLn(R)={n阶实方阵A:detA=1}SL_n(\mathbb R)=\{n阶实方阵A:det~A=1\}SLn(R)={n阶实方阵A:det A=1}

按矩阵的乘法形成群；前者称为一般线性群，后者称为特殊线性群

其他

函数

实数区间III上全体连续的实函数按函数加法（f+gf+gf+g在x∈Ix\in Ix∈I处值定义为f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x)）形成Abel群；此时区间III上零函数O(x)=0O(x)=0O(x)=0为连续函数，它是Abel群的加法单位元（零元）

整数加群

任给正整数mmm，

mZ={mx:x∈Z}={⋯,−2m,−m,0,m,2m,⋯}m\mathbb Z=\{mx:x\in \mathbb Z\}=\{\cdots,-2m,-m,0,m,2m,\cdots\}mZ={mx:x∈Z}={⋯,−2m,−m,0,m,2m,⋯}，按整数的加法形成Abel群，整数000为其加法单位元；且该群通常叫做整数加群

PS：mmm的倍数可以表示作mZm\mathbb{Z}mZ

模mmm同余关系

a≡b(modm)a\equiv b\pmod ma≡b(modm)

集合上的等价关系

设非空集合XXX上的等价关系写作∼\sim∼，则该关系满足

自反性：x∼xx\sim xx∼x；对称性：x∼y⇒y∼xx\sim y \Rightarrow y\sim xx∼y⇒y∼x；传递性：x∼y∼z⇒x∼zx\sim y\sim z\Rightarrow x\sim zx∼y∼z⇒x∼z

等价类：x∈Xx\in Xx∈X所在的等价类指{y∈X:x∼y}\{y\in X:x\sim y\}{y∈X:x∼y}；不同等价类并集为空

Z/mZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}Z/mZ上的加乘法

模mmm同余关系是整数集Z\mathbb{Z}Z上的等价关系，a∈Za\in \mathbb{Z}a∈Z所在的等价类为
aˉ=a+mZ={x∈Z:x≡a(modm)}\bar a = a + m\mathbb{Z} = \{x\in \mathbb{Z}:x\equiv a\pmod m\} aˉ=a+mZ={x∈Z:x≡a(modm)}
称aaa所在的模mmm剩余类在集合
Z/mZ={aˉ=a+mZ:a∈Z}={0ˉ,1ˉ,⋯,m−1‾}\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\{\bar{a} = a + m\mathbb{Z}:a\in \mathbb{Z}\} = \{\bar 0 ,\bar 1,\cdots,\overline{m-1}\} Z/mZ={aˉ=a+mZ:a∈Z}={0ˉ,1ˉ,⋯,m−1}
上，定义其加法与乘法为：
aˉ+bˉ=a+b‾,aˉbˉ=ab‾\bar a + \bar b = \overline{a+b},~\bar{a}\bar b=\overline{ab} aˉ+bˉ=a+b, aˉbˉ=ab
证明定义的合理性

若a,ca,ca,c为aˉ\bar aaˉ剩余类中的元素，而b,db,db,d为bˉ\bar bbˉ剩余类中的元素；则
a≡c(modm)且b≡d(modm)⇒a+b≡c+d(modm)且ab≡cd(modm)a\equiv c\pmod m且b\equiv d\pmod m\\ \Rightarrow a+b\equiv c+d\pmod m且ab\equiv cd \pmod m\\ a≡c(modm)且b≡d(modm)⇒a+b≡c+d(modm)且ab≡cd(modm)
以此类推，分别遍历aˉ\bar aaˉ与bˉ\bar bbˉ中剩余类的所有元素得到以上类似同余式，所以
a+b‾=c+d‾且ab‾=cd‾\overline{a+b}=\overline{c+d}且\overline{ab}=\overline{cd} a+b=c+d且ab=cd
以上加乘法满足结合律与交换律

故Z/mZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}Z/mZ按剩余类的加法形成mmm阶Abel群，加法单元为0ˉ=mZ\bar 0=m\mathbb{Z}0ˉ=mZ

单射与满射（数学表达）

设fff是集合XXX到集合YYY的映射，若
f(x1)=f(x2)⇒x1=x2f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 f(x1)=f(x2)⇒x1=x2
则称映射f:X→Yf:X\rightarrow Yf:X→Y是单射

若{f(x):x∈X}=Y\{f(x):x\in X\}=Y{f(x):x∈X}=Y，则称f：X→Yf：X\rightarrow Yf：X→Y是满射

当f:X→Yf:X\rightarrow Yf:X→Y既是单射又是双射时，称fff为XXX到YYY的双射

对称群

设非空集XXX到ta自身的双射叫XXX上的置换，所有XXX上的置换按照映射的复合构成群，其单位元是XXX上的单位元为恒等映射Ix:x↦xI_x:x\mapsto xIx:x↦x；该群称为XXX上的对称群，记为S(X)S(X)S(X)

对称群中的置换

nnn元集X={x1,⋯,xn}X=\{x_1,\cdots,x_n\}X={x1,⋯,xn}上的一个置换相应于x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn的一个全排列；

∣X∣=n|X|=n∣X∣=n时∣S(X)∣=n!|S(X)|=n!∣S(X)∣=n!；对于正整数nnn，对称群S({1,⋯,n})S(\{1,\cdots,n\})S({1,⋯,n})简记成SnS_nSn

一般表示作
σ=(123231)\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} σ=(122331)
代表着σ(1)=4,σ(3)=6,⋯\sigma(1)=4,\sigma(3)=6,\cdotsσ(1)=4,σ(3)=6,⋯

PS：∣X∣|X|∣X∣表示XXX的阶；恒等映射⟺\iff⟺ 单位元

对称群 Groupe symétrique - 知乎 (zhihu.com)

复数的几何形式

Hamilton四元数（四维超复数）
z=a+bi+cj+dk,其中a,b,c,d为实数z=a+bi+cj+dk,其中a,b,c,d为实数 z=a+bi+cj+dk,其中a,b,c,d为实数
其乘法的特殊之处

要求i2=j2=k2=ijk=−1i^2=j^2=k^2=ijk=-1i2=j2=k2=ijk=−1，则
ij=k,jk=i,ki=jji=−k,kj=−i,ik=−jij=k,jk=i,ki=j\\ ji=-k,kj=-i,ik=-j ij=k,jk=i,ki=jji=−k,kj=−i,ik=−j
（很显然不满足交换律）

故D={±1,±i,±j,±k}D=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}D={±1,±i,±j,±k}按乘法形成888阶非交换群

Reference

近世代数_中国大学MOOC(慕课) (icourse163.org)