【山东2019省赛J题 ZOJ 4122】Triangle City【最短路去边+欧拉路】

题意：

给出一个三角形城市，结构如下图所示。给出每个三角形的aaa、bbb、ccc三个边权，求从(1,1)(1,1)(1,1)到(n,n)(n,n)(n,n)的最长路，要求每条边在最长路中最多出现一次。(2≤n≤300)(2\leq n\leq 300)(2≤n≤300)

思路：

观察一下这幅图，可以发现图中每一个点的度数均为偶数，因此我们可以联想到欧拉回路，但这题是求从(1,1)(1,1)(1,1)到(n,n)(n,n)(n,n)的一条路径，因此回路肯定不行，所以进一步联想到了欧拉路径，而欧拉路径就是起点和终点度数为奇数，其他点的度数均为偶数。

所以问题就变成了从图中去除掉一个边集SSS，使得(1,1)(1,1)(1,1)和(n,n)(n,n)(n,n)的度数变为奇数，而其他点的度数仍为偶数，然后跑一个欧拉路即可。我们的目的就是让边集SSS中边权之和最小。

去掉图中任何一条边，都会使得边相邻两个顶点的度数减111，而最后目的是只有(1,1)(1,1)(1,1)和(n,n)(n,n)(n,n)的度数减奇数次，其他所有点的度数都要减偶数次。稍微尝试构建一下就会发现起点和终点度数均为222，因此最多减去一条边，所以减掉的边一定是起点到终点的一条路径，而让这条路径上边权之和最小，便可以想到求最短路。

因此此题正解为先求出起点到终点的最短路，然后将最短路上所有边从图中去掉，然后再从起点到终点跑一条欧拉路径即可。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
#define LOG3(x1,x2,y1,y2,z1,z2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << " , " << z1 << ": " << z2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 300*300+100;
const int M = 300*300*6+100;
const ll inf = 5*1e16;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;int n,tot,head[N],vis[N],pre[N][2],base[N][2];
ll dis[N],ans;
struct Edge{int to,next,vis;ll w;
}e[M];priority_queue<pair<ll,int> > q;
stack<int> stk;void init(){tot = 1; ans = 0;rep(i,0,n*n) head[i] = 0;while(stk.size()) stk.pop();
}void add(int x,int y,ll w){e[++tot].to = y, e[tot].next = head[x], head[x] = tot, e[tot].w = w, e[tot].vis = 1;
}void dijkstra(int s){while(q.size()) q.pop();rep(i,0,n*n) vis[i] = 0, dis[i] = inf, pre[i][0] = 0;dis[s] = 0;q.push(make_pair(0ll,s));while(q.size()){int x = q.top().second;q.pop();if(vis[x]) continue;vis[x] = 1;for(int i = head[x]; i; i = e[i].next){int y = e[i].to;ll z = e[i].w;if(dis[y] > (ll)(dis[x]+z)){pre[y][0] = x; pre[y][1] = i;dis[y] = dis[x]+z;q.push(make_pair(-dis[y],y));}}}int t = (1+n)*n/2;while(pre[t][0]){int tp = pre[t][1];e[tp].vis = 0;e[tp^1].vis = 0;t = pre[t][0];}
}void dfs(int x){for(int i = head[x]; i; i = e[i].next){if(e[i].vis == 0) continue;ans += e[i].w;e[i].vis = 0; e[i^1].vis = 0;dfs(e[i].to);}stk.push(x);
}void solve(){printf("%lld\n",ans);printf("%d\n",(int)stk.size());while(stk.size()){int y = stk.top(); stk.pop();printf("%d %d",base[y][0],base[y][1]);if(stk.size()) printf(" ");else printf("\n");}
}int main()
{int _; scanf("%d",&_);rep(i,1,300)rep(j,1,i){int x = (i*(i-1)/2)+j;base[x][0] = i;base[x][1] = j;}while(_--){scanf("%d",&n);init();rep(i,1,n-1){rep(j,1,i){ll w; scanf("%lld",&w);int x = (i*(i-1)/2)+j;int y = ((1+i)*i/2)+j;add(x,y,w); add(y,x,w);}}rep(i,1,n-1){rep(j,1,i){ll w; scanf("%lld",&w);int x = (i*(i-1)/2)+j;int y = ((1+i)*i/2)+j+1;add(x,y,w); add(y,x,w);}}rep(i,1,n-1){rep(j,1,i){ll w; scanf("%lld",&w);int x = ((1+i)*i/2)+j;int y = ((1+i)*i/2)+j+1;add(x,y,w); add(y,x,w);}}dijkstra(1);dfs(1);solve();}return 0;
}

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