一、前言

最近在捣鼓C++，学到线代的行列式之后就想着来捣鼓一下求行列式的值。主要原因是当时群里有人在捣鼓着用上下三角来求值，所以我最后就去玩定义法求值了。

二、n阶行列式的定义

从定义中我们可以看出值计算公式由三个部分组成：分别是逆序数r，行列式中n项的相乘并相加，以及全排列 j1 、j2 、j3......jn。

三、代码实现

1.首先我们先构架好基本框架：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;const int u = 10;            //最大阶数限制int main()
{int finalanswer;int arr[u][u];cout << "请输入行列式的阶数" << endl;cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++)                           //给行列式的每项进行赋值 {cout << endl;for (int h = 0; h < n; h++){cout << "a" << i + 1 << h + 1 << " 的值：";cin >> arr[i][h];}}}

cmath的头文件是因为接下来的逆序数需要用到pow（或者你也可以用for循环？）

2.排列数

int a[u];        //需要进行排列的数的数组for (i = 0; i < n; i++)         //给排列赋值
{a[i] = i + 1;
}

定义中的j1，j2，jn就是排列数，通过排列数来最后得出所需要相加的所有的项的值。

3.逆序数

int Reverse(int n, int a[])                 //逆序数
{int t = 0;for (int i = 1; i < n; i++){for (int h = 0; h < i; h++){if (a[i]<a[h]){t = t + 1;}}}return t;
}

逆序数的算法比较简单，只需要用两层for检测某一位的数的前几位有多少数比他大即可。

4.求全排列

void Perm(int start, int end, int a[])        start=0  end为行列式阶数
{if (start == end){for (int j = 0; j < end; j++){cout << a[j] << " ";}cout << endl;}for (int i = start; i < end; i++){swap(a[start], a[i]);Perm(start + 1, end, a);swap(a[i], a[start]);}
}

这是用递归法求全排列的一种方法，参考了这位大哥的方法： https://blog.csdn.net/hf19931101/article/details/79452799

其中start = 0，end就是行列式的阶数，也就是n。具体的解析可以看上面链接的。

5.计算行列式每个项的值

行列式最终的值是由几个项相加而成的，而那几个项则是由n个行列式中的元素相乘而得来的，而项中每项元素的列（行）下标则是1 2 3 ... n的某一种排列，而所有的项的列（行）下标就构成了1 2 3 ... n 的所有排列情况。

int Answer(int arr[u][u], int a[], int n, int t)              //计算行列式的每项的值
{int answer = 0;int temp_answer = 1;int t_2 = 0;for (int i = 0; i < n; i++){temp_answer = temp_answer * arr[i][a[i]-1];}t_2 = pow(-1, t);answer = temp_answer * t_2;return answer;
}

t 就是该项的各个元素的列（行）下标所对应的逆序数。temp_answer是该项中元素的累乘。t_2则是 - 1 的t次方。

6.所有项相加得出最终结果

我们定义一个Final_Answer来作为最终结果，并且将Answer函数和Perm函数以及Reverse相融合。

void Perm(int start, int end, int a[], int arr[10][10], int &Final_Answer)
{if (start == end){Final_Answer = Final_Answer + Answer(arr, a, end, Reverse(end, a));return;}for (int i = start; i < end; i++){swap(a[start], a[i]);      Perm(start + 1, end, a, arr, Final_Answer);  swap(a[i], a[start]);      }}

Final_Answer的值是一个值传递，因此我们用&来进行引用（或者利用指针）。Reverse函数所在的位置就是Answer函数的 t ，也就是逆序数。最后再在main函数之中调用并cout一下即可。

    Perm(0, n, a, arr, Final_Answer);cout << "行列式的值为： " << Final_Answer << endl;

7.全部代码

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;int Reverse(int n, int a[])
{int t = 0;for (int i = 1; i < n; i++){for (int h = 0; h < i; h++){if (a[i]<a[h]){t = t + 1;}}}return t;
}int Answer(int arr[10][10], int a[], int n, int t)
{int answer = 0;int temp_answer = 1;int t_2 = 0;for (int i = 0; i < n; i++){temp_answer = temp_answer * arr[i][a[i]-1];}t_2 = pow(-1, t);answer = temp_answer * t_2;return answer;
}void Perm(int start, int end, int a[], int arr[10][10], int &Final_Answer)
{if (start == end){Final_Answer = Final_Answer + Answer(arr, a, end, Reverse(end, a));return;}for (int i = start; i < end; i++){swap(a[start], a[i]);      Perm(start + 1, end, a, arr, Final_Answer);   swap(a[i], a[start]);      }}int main()
{int Final_Answer = 0;int i, n, a[10];int arr[10][10];cout << "请输入行列式的阶数" << endl;cin >> n;for (i = 0; i < n; i++)         //给排列赋值{a[i] = i + 1;}for (int i = 0; i < n; i++){cout << endl;for (int h = 0; h < n; h++){cout << "a" << i + 1 << h + 1 << " 的值：";cin >> arr[i][h];}}Perm(0, n, a, arr, Final_Answer);cout << "行列式的值为： " << Final_Answer << endl;return 0;
}

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