信息竞赛进阶指南--二叉堆(模板)

啥是二叉堆
二叉堆是一种特殊的堆，二叉堆是完全二元树（二叉树）或者是近似完全二元树（二叉树）。二叉堆有两种：最大堆和最小堆。最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

插入节点
在数组的最末尾插入新节点。然后自下而上调整子节点与父节点（称作up-heap或bubble-up, percolate-up, sift-up, trickle up, heapify-up, cascade-up操作）：比较当前节点与父节点，不满足堆性质则交换。从而使得当前子树满足二叉堆的性质。时间复杂度为。
删除根节点
删除根节点用于堆排序。
对于最大堆，删除根节点就是删除最大值；对于最小堆，是删除最小值。然后，把堆存储的最后那个节点移到填在根节点处。再从上而下调整父节点与它的子节点：对于最大堆，父节点如果小于具有最大值的子节点，则交换二者。这一操作称作down-heap或bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max等。直至当前节点与它的子节点满足堆性质为止。
构造二叉堆
一个直观办法是从单节点的二叉堆开始，每次插入一个节点。其时间复杂度为。
最优算法是从一个节点元素任意放置的二叉树开始，自底向上对每一个子树执行删除根节点时的Max-Heapify算法（这是对最大堆而言）使得当前子树成为一个二叉堆。具体而言，假设高度为h的子树均已完成二叉堆化，那么对于高度为h+1的子树，把其根节点沿着最大子节点的分枝做调整，最多需要h步完成二叉堆化。可以证明，这个算法的时间复杂度为O(n)。
合并两个二叉堆
最优方法是把两个二叉堆首尾相连放在一个数组中，然后构造新的二叉堆。时间复杂度为，其中n、k为两个堆的元素数目。
如果经常需要合并两个堆的操作，那么使用二项式堆更好，其时间复杂度为。
实现：

// 二叉堆
int heap[SIZE], n;
void up(int p) {while (p > 1) {if (heap[p] > heap[p/2]) {swap(heap[p], heap[p/2]);p/=2;}else break;}
}
void down(int p) {int s = p*2;while (s <= n) {if (s < n && heap[s] < heap[s+1]) s++;if (heap[s] > heap[p]) {swap(heap[s], heap[p]);p = s, s = p*2;}else break;}
}
void Insert(int val) {heap[++n] = val;up(n);
}
int GetTop() {return heap[1];
}
void Extract() {heap[1] = heap[n--];down(1);
}
void Remove(int k) {heap[k] = heap[n--];up(k), down(k);
}

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