称球问题解析（2）-N球方法

作者: Phill King

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有N个外表一模一样的小球，除了有一个小球略轻或略重，其他的小球质量都是一样的。求用没砝码的天秤最少称多少次，才能找出的异常球，并且知道它是更轻还是更重？

本文介绍一种三进制（Ternary）编码的方法来解决任意数目的称球问题。

通常我们对二进制编码更为熟悉，二进制编码由0,1构成。而三进制编码由0,1,2构成。

我们先引入三进制正序数和逆序数的概念：

正序数:

从左到右第一次变化是0->1, 1->2, 2->0。如010,201等。

逆序数：

从左到右第一次变化和正序数相反： 1->0, 2->1, 0->2。如100,211等。

性质：

1. 正序数的 3 进制补码为逆序数： 001 <=> 221

2. 正序数和逆序数在 (

) 范围内对称，且数目一样多

3. 本文我们用正序数代表小球更重，逆序数代表小球更轻。

对于每一轮的称量，我们都将N个小球分成三组。同时给每个小球两个三进制编码。以12个小球为例：

第i论的称量规则:

第i次称，根据编码第i位的数值决定放置位置。0 放在左边，2放在右边。1不称。

假设六号小球是异常球：

那么根据我们的称量规则，可以根据每一轮的结果获取异常球的三进制编码。

假设6号球更重，简单分析一下过程：

1. 第一轮：6号球编码是120.第一位是1，所以放在旁边不称。第一轮的结果是平衡，记录1.

2. 第二轮：6号球第二位编码是2，放在天平的右边。6号球更重，第二轮结果是左边轻，记录2

3.第三轮：6号球第三位编码是0，放在左边。第三轮结果是左边重，记录0.

结果的编码是120，和6号球的正序数编码是一样的。如果6号球偏轻，结果是102和6号球的逆序数编码是一样的。

以上分析了12球的情况，那如果球的数目不能被3整除的时候。应该怎么做呢？

我们再引入三元组的概念：

三元组:

• 编码的每一位进行 0->1, 1->2, 2->0 转换 , 三个为一组例如 : 012->120->201

• 同一个三元组的元素根据规则永远都会分配到不同的位置

• 我们利用三元组确保每次称球的平衡

• 例子 : 012->120->201

结合三元组的分配规则如下：

1. 当总数能够被 3 整除时，按照三元组分配

2. 如果不能够被 3 整除时，为了保持第一次称球时的平衡 :

1. 如果剩余一个球，分配 1 开头的编码。第一次不称。

2. 如果剩余两个球，分别分配 0 和 2 开头的编码。第一次分别放在左右。

后续出现称球不平衡时，用第一次称后已知的正常球补足。

下面以8个球为例：

编码方案：

具体过程：

###代表已知的正常球。第一轮至少可以获知两个正常球。通常我们只需要一个来保证天平两侧的平衡即可。这里仍然以6号球为例分析，读者可以自行假设一个异常球，根据其编码进行分析。

接下去我们分析一下使用该方法测量N个球的最少次数：

假设一共测n轮：

n和三进制的长度一样
不能使用的编码（备注：在称球问题的一些变体中可以使用这些编码）：
1. 全1编码。如果一直不称量，无法知道其轻重
2. 全0和全2编码。如果000和222代表同一个球，无法确定放在哪一边。

n位三进制的总数位，每个球需要两个编码。所以我们一共可以测：个球。

综上，我们可以确定对于jN个球称量的通用方法：

1. 通过公式

确定称球次数 n ，将 n 作为三进制的位数

2. 构造 n 位三进制的正逆序三元组编码

3. 给每一球分配一对编码（正序和逆序）

4. 当总数不能被 3 整除时，需要处理多余的球

1. 如果多 1 个，分配 1 开头的编码。后续左右数目不平时用已知正常球补足

2. 如果多 2 个，分配 0 和 2 开头的编码。后续左右数目不平时用已知正常球补足

5. 每一轮根据编码对应位的值放置小球，并记录结果

结果编码所对应的小球即为异常球，并可根据编码的正逆序获知轻重。

根据公式可以推论称量次数和小球数目的关系：

1.2次最多3个小球

2.3次最多12个小球

3.4次最多39个小球

4.5次最多120个小球

扩展问题：

针对一些称球问题的变体，仍然可以用三进制编码方法来解决。

假如不需要知道异常球的轻重，可测个
1. 增加一个球，编码为全1. 有且仅有一种情况无法知道轻重。
假如另外有一个已知正常球（不计算在可测球数内），可测个
1. 选一球编码为全0和全2，始终放在左侧。额外正常球不编码，第一次放在右侧平衡。
结合1&2:

总结：

本文介绍了用三进制（Ternary）编码方法解决称球问题的方案。下一篇文章会提供一个称球问题公式的证明：n次称量，最多可以测个球。

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