基础数学（六）——非线性方程求根的数值解法
文章目录
- 期末考核方式
- 求解的一般步骤
- 二分法求根
- 二分法计算样例
- 二分法的优缺点
- 不动点迭代法
- 全局收敛准则
- 收敛性证明样例
- 局部收敛性
- 收敛阶数的定义
- 迭代法具体例题（考试必考）
- 牛顿迭代法
- 例题（使用牛顿法近似目标解）（考过）
- 牛顿迭代收敛阶数
- 简化牛顿、下山法和重根处理（了解）
- 简化牛顿法
- 牛顿下山法
- 重根处理（考试重点）
- 非线性方程组（不考）
期末考核方式
- 给你一个非线性方程，让你自己去构造两个收敛的迭代格式，并给出收敛的理由，以及关于收敛速度的对比。其中一种可以写牛顿迭代，另外一种自己创造。
- 要能使用全局收敛准则，去验证迭代格式的收敛性。或者在知道解的情况下，验证导数的上下界限是否小于一。
- 使用收敛阶去比较，两个不同的迭代格式的收敛速度。或者使用迭代格式的导数进行比较。一阶导为二阶，二阶导为三阶。
- 对于同阶比较，通过比较导数绝对值进行实现。
求解的一般步骤
- 通过零点存在定理，判定根的大概位置
- 找到有根区间较大时，将大区间进行n等分，变成小区间人，然后逐个进行排查，确定有根区间的更小区间。
二分法求根
二分法计算样例
二分法的优缺点
- 注意：不能求偶数重根和复数根，两边主要不异号，就求不出来。
不动点迭代法
全局收敛准则
- 通过全局收敛准则来证明收敛性，通过L的大小来比较收敛的快慢。
- 压缩映射，自变量∈【a，b】，对应的生成结果也一定是属于【a，b】
- 同时还要满足的迭代格式导数的绝对值小于一。
收敛性证明样例
- 全局收敛的要求太高，大部分的收敛格式都不能满足，所以需要考虑局部收敛。
局部收敛性
- 注意：这里虽然要求了x﹡，但是考试的时候老师会给你其具体的值。一般是用1进行比较判定的。
收敛阶数的定义
迭代法具体例题（考试必考）
牛顿迭代法
- 就是用一次切线方程，求解即可。
例题（使用牛顿法近似目标解）（考过）
- 下述这个是不会的，这里判定收敛阶数，对Xn进行极限。
牛顿迭代收敛阶数
- 牛顿迭代
- 优点：平方收敛，在迭代过程中只需要迭代几次就可得到精确的解
- 缺点：
- 受限于初值的选择，局部收敛
- 计算量大，还要计算一阶导数值
简化牛顿、下山法和重根处理（了解）
简化牛顿法
- 每一次都是用第一次的导数作为斜率，减少计算量。局部收敛，初值选的不好，就不会收敛。
牛顿下山法
重根处理（考试重点）
- 牛顿迭代对于重根而言，默认牛顿迭代是一阶收敛。
- 对于重根而言：知道有多少重的，将结果写在前面，实现二重收敛。
- 下述为重数m未知，直接除以一阶导数即可实现，将之进行降阶，化成单根。
- 需要知道的两件事
- 标准的牛顿迭代，不做任何处理，对于任何重根都是局部收敛，m越大收敛越慢
- 要么知道根的重数，要么计算二阶导数
非线性方程组（不考）
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