介绍

哈希算法是通过一个哈希函数，将一段数据（也包括字符串、较大的数字等）转化为能够用变量表示或是直接就可作为数组下标的数字，这样转化后的数值我们称之为哈希值， 也就是算出一个数来代表一个字符串。

我们通过哈希值从而实现很快地查找和匹配，

常用：字符串Hash和哈希表。

字符串Hash流程

如果我们用O(m)的时间来计算长度为m的字符串的哈希值，则总的时间复杂度并没有改观，这里就需要用到一个叫做滚动哈希的优化技巧。

我们选取两个合适的互素常数b（进制）和h（模数）(b < h)，假设字符串C =c1c2...cm，那么我们定义哈希函数：

正常的数字是十进制的，这里b是基数，相当于把字符串看做是b进制数。

这一过程是递推计算的，设H(c, k)为前k个字符的构成的字符串的哈希值，则：（以下均不考虑取模的情况）

如字符串C=“ACDA”（为方便处理，我们令‘A’表示1，‘B’表示2，以此类推），则：

通常题目要求的判断字符串C 从位置k+1开始的长度为n的子串C'=ck+1ck+2...ck+n的哈希值与另一匹配串S = s1s2...sn的哈希值是否相等，则：

于是只要预处理出bn，就能在O(1)时间内得到任意的字符串子串哈希值，从而完成字符串匹配，那么上述字符串匹配问题的总复杂度就为O(n + m)。

如字符串C=“ACDA”，S=”CD”，当k=1, n=2时：

因此子串C'与匹配串S匹配。

在实现时，可以利用64位无符号整数计算哈希值，即取h=2^64，通过自然溢出省去求模运算。

字符串Hash正确性

字符串Hash对于任意不同的字符串所产生的哈希值必然是互不相同的吗？显然不是的，但概率很低，在竞赛中我们常常认为这种情况不会发生。

即便如此，我们还可以再用“双哈希”降低出现相同哈希值的概率，即取不同的模数，把不同模数算出的哈希值都记下来，只有几个哈希值都一样，我们才能判定匹配。我们通常用双哈希就可以将冲突的概率降到很低，如果分别取h=10^9+7和h=10^9+9，就几乎不可能发生冲突，因为他们是一对“孪生素数”。

【例题1】Oulipo（信息学奥赛一本通 1455）

【题目描述】

给出两个字符串s1,s2（(只有大写字母），求s1在s2中出现多少次。 例如：s1="ABA",s2="ABAABA",答案为2。

【输入】

输入T组数据，每组数据输出结果。

【输出】

如题述。

【输入样例】

3

BAPC

BAPC

AZA

AZAAZAAZA

VEEDI AVERDXIVYERDLAN

【输出样例】

1

3

0

哈希表流程

现在要存储和使用下面的线性表：A(1,75,324,43,1353,91,40)。

定义一个一维数组A[1...n]，此时n=7，将表中元素按大小顺序存储在A[i]中，但这样就算使用二分查找，我们仍需要用O(log n)的时间去查找某个元素。

为了用O(1)的时间实现查找，可以开一个一维数组A[1...1353]，使得A[key]=key，但显然造成了空间上的很大浪费，尤其是数据范围很大时。

为了使空间开销减少，我们可以对第二种方法加以优化，设计一个哈希函数H(key) = key mod 13，然后令A[H(key)]=key，这样一来定义一个一维数组A[0...12]就已足够，这种方法就是哈希表。

但刚才那样的存储是有问题的，如H(1)=H(40)=1，在存储40时又把1给覆盖掉了，那么查询就会出现错误，这种不同的数据产生相同哈希值的情况我们称之为冲突。

这里与字符串Hash有所不同，可能不论我们怎样选用哈希函数，还是很难避免产生冲突。

因此我们考虑对每一个哈希值记一个链表（其实也就相当于邻接表），把所有等于同一个哈希值的数字都存储下来，而查询只要遍历对应的链表即可，这样实际复杂度取决于查询的链表长度，也可以看做是常数级。

例如我们定义哈希函数H(x) = x mod 16，插入一些数据的效果如下图。

哈希函数的构造

通常情况下，我们用除余法来构造哈希函数。 ·即选择一个适当的正整数b，用其对取模的余数作为哈希值。

其关键是b的选取，为了尽量避免冲突，一般选为能够存储下并且尽量大的素数（一般情况下我们根据空间取10^6左右的素数）。一般地说，如果b的约数越多，那么冲突的几率就越大。

using namespace std;
const int N = 50000;             //定义总共存入哈希表的数字个数
const int b = 999979;             //定义哈希函数中的模数
int tot, adj[H], nxt[N], num[N]];                void insert(int key)  //将一个数字插入哈希表
{            int h = key % b;                  //除余法 for (int e = adj[h]; e; e = nxt[e]) {    if (num[e] == key) return ;      }         //如果链表中已经出现过当前的数字就不用再存储一遍nxt[++tot] = adj[h], adj[h] = tot;          num[tot] = key;  //建立链表，存储下所有哈希值等于h的数字
 }          bool query(int key)  //查询数字x是否存在于哈希表中
{            int h = key % b;                  //同样先进行取余，求其哈希值  for (int e = adj[h]; e; e = nxt[e])         if (num[e] == key) return true; //查询对应链表，查询到则表示存在 return false;                       //不存在返回 false
  }
} 

【例题2】图书管理（信息学奥赛一本通 1456）

【题目描述】

图书管理是一件十分繁杂的工作，在一个图书馆中每天都会有许多新书加入。为了更方便的管理图书（以便于帮助想要借书的客人快速查找他们是否有他们所需要的书），我们需要设计一个图书查找系统。 该系统需要支持 2 种操作： add(s) 表示新加入一本书名为 s 的图书。 find(s) 表示查询是否存在一本书名为 s 的图书。

【输入】

第一行包括一个正整数 n，表示操作数。 以下 n 行，每行给出 2 种操作中的某一个指令条，指令格式为：add s 或 find s 在书名 s 与指令（add，find）之间有一个隔开，我们保证所有书名的长度都不超过 200。可以假设读入数据是准确无误的。

【输出】

对于每个 find(s) 指令，我们必须对应的输出一行 yes 或 no，表示当前所查询的书是否存在于图书馆内。 注意：一开始时图书馆内是没有一本图书的。并且，对于相同字母不同大小写的书名，我们认为它们是不同的。

【输入样例】

4

add Inside C#

find Effective Java

add Effective Java

find Effective Java

【输出样例】

no

yes