滑模控制参数调节思路小tips

本文是笔者在进行滑模控制调参时发现的规律有感而发写成，本文只提供调参的思路，但是具有一定的理论依据，苦于滑模控制调参的同学可以参考并尝试！！

由于笔者个人时间和精力有限，因此此处不再进行举例说明，仅提供一种调参思路。顺便这里给自己的滑模控制博客打个广告：滑模控制理论（SMC）概述

众所周知，滑模控制基于具有如下形式的系统数学模型：
{x˙1=x2x˙2=x3⋮x˙n−1=xnx˙n=f(x,t)+g(x,t)⋅U(1)\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = x_3 \\ \vdots \\ \dot x_{n-1} = x_n \\ \dot x_n = f(x, t) + g(x, t) \cdot U \end{cases} \tag{1} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x˙1=x2x˙2=x3⋮x˙n−1=xnx˙n=f(x,t)+g(x,t)⋅U(1)具有(1)形式的方程组称为柯西形式，其特点是：方程组中每一状态量xix_ixi的导数均为其接续状态量xi+1x_{i+1}xi+1，而只有在最后一阶xnx_nxn的导数中含有控制量UUU。

而基于柯西形式的数学模型，往往可以设计误差量：
e1=x1−x1de2=e˙1=x˙1−x˙1d⋮en=e˙n−1=x1(n−1)−x˙1d(n−1)(2)e_1 = x_1 - x_{1d} \\ e_2 = \dot e_1 = \dot x_1 - \dot x_{1d} \\ \vdots \\ e_n = \dot e_{n-1} = x_1^{(n-1)} - \dot x_{1d}^{(n-1)} \tag{2} e1=x1−x1de2=e˙1=x˙1−x˙1d⋮en=e˙n−1=x1(n−1)−x˙1d(n−1)(2)其中x1dx_{1d}x1d为x1x_1x1的期望值。

进而设计滑模面：
s1=c1e1+c2e2+⋯+cn−1en−1+en=∑i=1nciei(3)\begin{aligned} s_1 &= c_1 e_1 + c_2 e_2 + \cdots + c_{n-1} e_{n-1} + e_n \\ &= \sum _{i=1}^n c_i e_i \end{aligned} \tag{3} s1=c1e1+c2e2+⋯+cn−1en−1+en=i=1∑nciei(3)需要注意在最后一项ene_nen前的系数cn=1c_n = 1cn=1。

由于方程组(2)本质上是一个不断求导的方程组，因此根据(2)，滑模面(3)也可以写成
s1=c1e1+c2e˙1+⋯+cn−1e1(n−2)+e1(n−1)(4)s_1 = c_1 e_1 + c_2 \dot e_1 + \cdots + c_{n-1} e_1 ^{(n-2)} + e_1 ^{(n-1)} \tag{4} s1=c1e1+c2e˙1+⋯+cn−1e1(n−2)+e1(n−1)(4)(4)式很难直观地进行物理理解，因此这里举一个二阶例子简单说明滑模控制调参的思路：
s1=c1e1+e2=c1e1+e˙1(5)s_1 = c_1 e_1 + e_2 = c_1 e_1 + \dot e_1 \tag{5} s1=c1e1+e2=c1e1+e˙1(5)可以看出，式(5)是关于变量e1e_1e1及其导数的一个方程。一般地，这种同时含有某个量及其一阶导的方程，很容易令人联想到一阶惯性环节：
G(s)=1Ts+1G(s) = \frac{1}{Ts+1} G(s)=Ts+11传函G(s)G(s)G(s)对应的时域方程即为
Tx˙(t)+x(t)=y(t)(6)T \dot x(t) + x(t) = y(t) \tag{6} Tx˙(t)+x(t)=y(t)(6)将(5)(6)相比较，很容易发现二者极其相似。这不是巧合，而是由我们在一开始设计滑模面的时候就决定了的：滑模面由nnn个误差量eie_iei组成，但实际上每个误差量都是前一个误差量的导数，因此当n=2n=2n=2时，滑模面方程本质上就是一个一阶惯性环节方程。

而利用经典自动控制理论可以知道，当系统中含有一阶惯性环节时，系统的稳态响应中将会有如下分量（或称模态）：
xi(t)=ke−1Tt(7)x_i(t) = k e^{- \frac{1}{T} t} \tag{7} xi(t)=ke−T1t(7)其中kkk为常数，由初始条件解得。

不难看出，稳态响应分量(7)是单调递减的指数函数，保障了系统的稳定性和有界性。那么，根据以上推导，可以简单粗暴地得出如下结论：
二阶滑模面本质上就是一阶惯性环节，因此其正系数cic_ici保证了系统的稳态响应的有界性和稳定性。

那么进而可以得出调参方法：
对于二阶系统，其二阶滑模面的正系数c1c_1c1越大，则(7)中指数函数收敛速度越快，系统也越快达到稳态。

下面将该结论拓展至nnn阶滑模面——
如果滑模面不再是2阶，而是nnn阶，那么如上结论依然适用——不妨将滑模方程(5)看成一个nnn阶惯性环节，即广义的一阶惯性环节，那么同样地有：

对于nnn阶系统，其nnn阶滑模面的正系数cic_ici越大，则(7)中指数函数收敛速度越快，系统也越快达到稳态。

在具体调参时，如果系统收敛较慢，不妨试着适当加大cic_ici来加快收敛速度，而这一做法的依据即为了使稳态分量(7)式收敛更快。

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