1. 树型结构

1.1 概念

1.2 概念（重要）

1.3 树的表示形式（了解）

1.4 树的应用

2. 二叉树（重点）

2.1 概念

二叉树的特点：

2.2 二叉树的基本形态

2.3 两种特殊的二叉树

2.4 二叉树的性质

2.5 二叉树的存储

2.6 二叉树的基本操作

2.6.1 二叉树的遍历

2.6.2 二叉树的基本操作——代码实现

1. 树型结构

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继树是递归定义的。

1.2 概念（重要）

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

1.3 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

2. 二叉树（重点）

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 二叉树的基本形态

上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

2.3 两种特殊的二叉树

满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k - 1 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1) (i>0)个结点
若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k-1 (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1) 上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1<n,左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+1<n,右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

比如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中 500 个叶子节点，500 个非叶子节点，1 个节点只有左孩子，0 个只有右孩子。

2.5 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

顺序存储在下节介绍。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式。

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.6 二叉树的基本操作

2.6.1 二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

2.6.2 二叉树的基本操作——代码实现

用三种遍历方式队以下二叉树进行遍历

package bin_tree;//基础二叉树实现
//使用左右孩子表示法
public class MyBinTree {private static class TreeNode{char val;//左子树根节点TreeNode left;//右子树根节点TreeNode right;public TreeNode(char val){this.val = val;}}//创建一个二叉树，返回根节点public static TreeNode build(){TreeNode nodeA = new TreeNode('A');TreeNode nodeB = new TreeNode('B');TreeNode nodeC = new TreeNode('C');TreeNode nodeD = new TreeNode('D');TreeNode nodeE = new TreeNode('E');TreeNode nodeF = new TreeNode('F');TreeNode nodeG = new TreeNode('G');TreeNode nodeH = new TreeNode('H');nodeA.left = nodeB;nodeA.right = nodeC;nodeB.left = nodeD;nodeB.right = nodeE;nodeE.right = nodeH;nodeC.left = nodeF;nodeC.right = nodeG;return nodeA;}//先序遍历：根左右//传入一颗二叉树的根节点，就可以按照先序遍历的方式来输出节点值public static void preOrder(TreeNode root){//边界条件if (root == null){return;}System.out.print(root.val + " ");//按照先序遍历的方式递归访问左树preOrder(root.left);//按照先序遍历的方式递归访问右树preOrder(root.right);}//中序遍历：左根右//传入一颗二叉树的根节点，就能按照中序遍历的方式来输出结果集public static void inOrder(TreeNode root){//边界条件if (root == null){return;}//先递归访问左子树inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");//最后递归访问右子树inOrder(root.right);}//后序遍历： 左右根public static void postOrder(TreeNode root){if (root == null){return;}//先递归访问左子树postOrder(root.left);//在递归访问右子树postOrder(root.right);//最后访问根节点System.out.print(root.val + " ");}public static void main(String[] args) {TreeNode root = build();System.out.println("先序遍历的结果为：");preOrder(root);//A B D E H C F GSystem.out.println();System.out.println("中序遍历的结果为: ");inOrder(root);//D B E H A F C GSystem.out.println();System.out.println("后序遍历的结果为： ");postOrder(root);//D H E B F G C ASystem.out.println();}
}

本小节完^_^

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1.1 概念

1.2 概念（重要）

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1.4 树的应用

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2.1 概念

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2.2 二叉树的基本形态

2.3 两种特殊的二叉树

2.4 二叉树的性质

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