「辗转相除法」和「更相减损术」求最大公约数

一、辗转相除法

举个例子，比如155和65
155=65*2+25
65=25*2+15
25=15*1+10
15=10*1+5
10=5*2+0
一直除到余数为0为止，所以最大公约数是5

public int gcd1(int a, int b) {int l = Math.max(a, b);int s = Math.min(a, b);while (s != 0) {int r = l % s;l = s;s = r;}return l;}

辗转相除法的最大问题在于，"%"这个操作因为是除法比较耗时，尤其是当l和s比较大的时候，会造成性能下降。

二、更相减损术

还是155和65
155-65=90
90-65=25
65-25=40
40-25=15
25-15=10
15-10=5
10-5=5
一直减到被减数和差相等为止，所以最大公约数是5

public int gcd2(int a, int b) {int l = Math.max(a, b);int s = Math.min(a, b);int r = l - s;while (s != r) {l = Math.max(s, r);s = Math.min(s, r);r = l - s;}return r;}

更相减损术的问题是遇到差别很大的数据，比如99999和1的时候要互减99998次，这样显然不行，所以我们做一个改进，把上面两个方法的优势结合起来。

三、两种方法的结合

结合的规律是这样的：
1.如果a、b都是偶数，则最大公约数gcd(a,b)=2∗gcd(a2,b2)gcd(a,b)=2*gcd(\frac{a}{2},\frac{b}{2})gcd(a,b)=2∗gcd(2a,2b)
比如gcd(100,50)=50=2*gcd(50,25)=2*25=50
2.如果a、b一个是偶数一个是奇数，则最大公约数gcd(a,b)=gcd(a2,b)gcd(a,b)=gcd(\frac{a}{2},{b})gcd(a,b)=gcd(2a,b)[这里假定a是偶数]
比如gcd(100,25)=25=gcd(50,25)=25
3.如果a、b都是奇数，则执行一次更相减损术，将其转化为1、2两种状态
比如a,b分别是49和21，执行一次相减，49-21=28，那a,b就变成了28和21，这就回到了状态2
注意每一次变换完都要减一下看看是不是已经结束了。
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举个例子：
a=67870，b=23446，multi=1
a-b=44424!=b
a、b都是偶数，执行状态1，则a=33935，b=11723，multi=2
（因为都是偶数时要把2提出来，我们把这个倍数赋给multi，最后记得乘回来就行）
a-b=22212!=b
a、b都是奇数，执行状态3，则a=22212，b=11723
a-b=10489!=b
a是偶数，b是奇数，执行状态2，则a=11106，b=11723，交换一下让a是较大数，a=11723，b=11106
a-b=617!=b
a是奇数，b是偶数，执行状态2，则a=11723，b=5553
a-b=6170!=b
a、b都是奇数，执行状态3，则a=6170,b=5553
a-b=617!=b
a是偶数，b是奇数，执行状态2，则a=5553,b=3085
a-b=2468!=b
a、b都是奇数，执行状态3，则a=3085，b=2468
a-b=617!=b
a是奇数，b是偶数，执行状态2，则a=3085，b=1234
a-b=1851!=b
a是奇数，b是偶数，执行状态2，则a=3085，b=617
a-b=2468!=b
a、b都是奇数，执行状态3，则a=2468，b=617
a-b=1851!=b
a是偶数，b是奇数，执行状态2，则a=1234，b=617
a-b=617==b
所以最大公约数是617*multi=1234
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public int gcd3(int a, int b) {int l = Math.max(a, b);int s = Math.min(a, b);int r = l - s;int multi = 1;while (s != r) {if ((l & 1) == 0 && (s & 1) == 0) {l = l >> 1;s = s >> 1;multi <<= 1;} else if ((l & 1) == 0 && (s & 1) != 0) {l = l >> 1;if (l < s) {int p = l;l = s;s = p;}} else if ((l & 1) != 0 && (s & 1) == 0) {s = s >> 1;} else {l = Math.max(s, r);s = Math.min(s, r);}r = l - s;}return r * multi;
}