毕奥·萨伐尔定律

公式汇总：

一般公式：
d B = μ 0 4 π I d l ⃗ × r ⃗ r 3 = μ 0 4 π I d l s i n α r 2 dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec{dl}\times\vec{r}}{r^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idlsin\alpha}{r^2} dB=4πμ0​​r3Idl ×r ​=4πμ0​​r2Idlsinα​
B ⃗ = ∫ d B ⃗ = ∫ μ 0 4 π I d l ⃗ × r ⃗ r 3 \vec{B}=\int d\vec{B}=\int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec{dl}\times\vec{r}}{r^3} B =∫dB =∫4πμ0​​r3Idl ×r ​
载流直导线的磁场： B = μ 0 I 4 π a ( c o s α 1 − c o s α 2 ) B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(cos\alpha_1-cos\alpha_2) B=4πaμ0​I​(cosα1​−cosα2​)
无限长载流直导线： B = μ 0 I 2 π a B=\frac{\mu_0I}{2\pi a} B=2πaμ0​I​
载流圆线圈轴上的磁场： B = μ 0 I R 2 2 ( R 2 + x 2 ) 3 2 B=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} B=2(R2+x2)23​μ0​IR2​
圆心处： x = 0 , B 0 = μ 0 I 2 R x=0,B_0=\frac{\mu_0I}{2R} x=0,B0​=2Rμ0​I​
通电螺线管： B = μ 0 n I 2 ( x 2 √ x 2 2 + R 2 − x 1 √ x 1 2 + R 2 ) B=\frac{\mu_0nI}{2}(\frac{x_2}{\surd{x_2^2+R^2}}-\frac{x_1}{\surd{x_1^2+R^2}}) B=2μ0​nI​(√x22​+R2x2​​−√x12​+R2x1​​)
对于无限长的螺线管： B = μ 0 n I B=\mu_0nI B=μ0​nI

1. 磁现象

  1. 一切磁现象都源于电荷的运动。
  2. 一切磁力本质上都是电荷之间的作用力。

一切磁现象都源于电荷运动，磁相互作用的本质就是运动电荷（电流）之间的运动。

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激发
作用于
运动电荷 载流导线 磁体
磁场
运动电荷 载流导线 磁体

稳恒磁场：由稳恒电流激发的磁场。

2. 毕奥·萨伐尔定律

2.1 电流元

定义： I d l ⃗ I\vec{dl} Idl 为电流元。大小为 I d l Idl Idl， d l ⃗ \vec{dl} dl 的方向由线元所在处电流的流向来确定。
目的：用积分法来求出任意形状的磁场分布。

2.2 电流元的磁场

大小： d B = μ 0 4 π I d l ⃗ × r ⃗ r 3 = μ 0 4 π I d l s i n α r 2 dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec{dl}\times\vec{r}}{r^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idlsin\alpha}{r^2} dB=4πμ0​​r3Idl ×r ​=4πμ0​​r2Idlsinα​
真空磁导率： μ 0 = 4 π × 1 0 − 7 N ⋅ A − 2 \mu_0=4\pi\times10^{-7}N\cdot A^{-2} μ0​=4π×10−7N⋅A−2

运用积分：

B ⃗ = ∫ d B ⃗ = ∫ μ 0 4 π I d l ⃗ × r ⃗ r 3 \vec{B}=\int d\vec{B}=\int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec{dl}\times\vec{r}}{r^3} B =∫dB =∫4πμ0​​r3Idl ×r ​

  • 说明：毕奥·萨伐尔定律只适用于恒定电流。
  • 解题步骤：
    1. 建立坐标系。
    2. 分割电流元。
    3. 确定电流元的磁场。
    4. 坐标分解求 d B dB dB的分量 d B x dB_x dBx​, d B y dB_y dBy​, d B z dB_z dBz​，然后统一积分变量求出 d B x dB_x dBx​, d B y dB_y dBy​, d B z dB_z dBz​。
    5. 由 B ⃗ = d B x i ⃗ + d B y j ⃗ + d B z k ⃗ \vec{B}=dB_x\vec{i}+dB_y\vec{j}+dB_z\vec{k} B =dBx​i +dBy​j ​+dBz​k ，求总场。

毕奥·萨伐尔定律运用实例

  1. 载流直导线的磁场
    B = μ 0 I 4 π a ( c o s α 1 − c o s α 2 ) B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(cos\alpha_1-cos\alpha_2) B=4πaμ0​I​(cosα1​−cosα2​)
    其中，a是点到导线的垂直距离。
    α 1 \alpha_1 α1​是电流入端点与该点与待求点连线之间的夹角。

  • 一般情况： B = μ 0 I 4 π a ( c o s α 1 − c o s α 2 ) B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(cos\alpha_1-cos\alpha_2) B=4πaμ0​I​(cosα1​−cosα2​)
  • 无限长载流直导线： α 1 = 0 ， α 2 = π ， B = μ 0 I 2 π a \alpha_1=0，\alpha_2=\pi，B=\frac{\mu_0I}{2\pi a} α1​=0，α2​=π，B=2πaμ0​I​
  • 半无限长载流直导线：(点与其入端平齐) α 1 = π 2 ， α 2 = π ， B = μ 0 I 4 π a \alpha_1=\frac{\pi}{2}，\alpha_2=\pi，B=\frac{\mu_0I}{4\pi a} α1​=2π​，α2​=π，B=4πaμ0​I​
  • 半无限长载流直导线： α 1 = β ， α 2 = π ， B = μ 0 I 4 π a ( c o s β + 1 ) \alpha_1=\beta，\alpha_2=\pi，B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(cos\beta+1) α1​=β，α2​=π，B=4πaμ0​I​(cosβ+1)
  • 载流导线延长线上任意一点的磁场： B ⃗ = 0 \vec{B}=0 B =0
  1. 载流圆线圈轴上的磁场

B = μ 0 I R 2 2 ( R 2 + x 2 ) 3 2 B=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} B=2(R2+x2)23​μ0​IR2​
这里的x是待求点到圆线圈圆心处的距离。

圆心处： x = 0 , B 0 = μ 0 I 2 R x=0,B_0=\frac{\mu_0I}{2R} x=0,B0​=2Rμ0​I​
如果是圆弧形的电流： B 0 = μ 0 I 2 R θ 2 π B_0=\frac{\mu_0I}{2R}\frac{\theta}{2\pi} B0​=2Rμ0​I​2πθ​

  1. 载流密绕直螺线管轴上的磁场


我当时上课的时候感觉很疑惑，这里的n匝线圈明明是串联的，为什么 d I = n d x I dI=ndxI dI=ndxI呢？
其实不需要管这里的电流是串联还是并联，因为我们在这里是要考虑电流产生的磁感性强度，所以n匝电流产生的是n倍，或者我们可以从上面讲的载流圆线圈的圆弧形式理解， B 0 = μ 0 I 2 R θ 2 π B_0=\frac{\mu_0I}{2R}\frac{\theta}{2\pi} B0​=2Rμ0​I​2πθ​，绕两圈就是 θ = 4 π \theta = 4\pi θ=4π，以此类推。
回到上面的微元形式进行积分。
这里把P点看作是坐标原点，对dx进行积分得： B = μ 0 n I 2 ( x 2 √ x 2 2 + R 2 − x 1 √ x 1 2 + R 2 ) B=\frac{\mu_0nI}{2}(\frac{x_2}{\surd{x_2^2+R^2}}-\frac{x_1}{\surd{x_1^2+R^2}}) B=2μ0​nI​(√x22​+R2x2​​−√x12​+R2x1​​)
对于无限长的螺线管， B = μ 0 n I B=\mu_0nI B=μ0​nI

  1. 运动电荷产生的磁场
    运用公式：
    B ⃗ = ∫ d B ⃗ = ∫ μ 0 4 π I d l ⃗ × r ⃗ r 3 \vec{B}=\int d\vec{B}=\int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec{dl}\times\vec{r}}{r^3} B =∫dB =∫4πμ0​​r3Idl ×r ​
    常见情况：

    1. 离散运动电荷已知速度，则对一个圆周进行积分， I = q T I=\frac{q}{T} I=Tq​，这里的T是电荷绕一圈的周期。
      例如：

      − e -e −e的原因是，I 的方向与负电荷运动方向相反。
    2. 带电圆环已知每秒绕N转，与之前类似，T=1/N。

3. 磁距

平面载流线圈的磁距：
p ⃗ m = I S ⃗ \vec{p}_m=I\vec{S} p ​m​=IS
S ⃗ \vec{S} S 的方向就是法向量的方向。
载流线圈轴线上距圆心很远的场可表示为：
B = μ 0 I R 2 2 x 3 = μ 0 I π R 2 2 π x 3 = μ 0 I S ⃗ 2 π x 3 = μ 0 p m 2 π x 3 B=\frac{\mu_0IR^2}{2x^3}=\frac{\mu_0I\pi R^2}{2\pi x^3}=\frac{\mu_0 I\vec{S}}{2\pi x^3}=\frac{\mu_0 p_m}{2\pi x^3} B=2x3μ0​IR2​=2πx3μ0​IπR2​=2πx3μ0​IS ​=2πx3μ0​pm​​
考虑方向：
B ⃗ = μ 0 p ⃗ m 2 π x 3 \vec{B}=\frac{\mu_0\vec{p}_m}{2\pi x^3} B =2πx3μ0​p ​m​​

当圆电流的半径很小或者讨论远离圆电流处的磁场分布时，把圆电流称作磁偶极子，产生的磁场称为磁偶极磁场。

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