Projective Geometric Algebra 射影几何代数

参考并概括自 Geometric Algebra for Computer Graphics, Siggraph 2019 Course Notes, Charles G. Gunn 。

注：非翻译。跳过了第1, 2, 3的导入章节。本文图片均引用自参考文献。

Projective Geometric Algebra，射影几何代数，下面简称PGA，是欧式空间中处理几何关系的一套代数工具。几何的代数工具对于在现代工程学、CAD、VR、3D游戏、动画等各个相关领域非常重要。一般比较熟悉也是应用十分广泛的，是向量、线性代数、解析几何(Vector and Linear Algebra and Analytic Geometric, 简称VLAAG)的一套框架。而PGA是另一套现代方法，与传统的VLAAG方法有所不同，从另一个角度，另一个观点来求解欧式空间中的几何问题。

Chpt. 4 Immersive introduction to geometric algebra

几何代数的基本哲学就是：几何的运算都是数的运算(Geometric primitives behave like numbers)。在PGA中，基本形(geometric primitives. 点、直线、平面)等，由**外代数(exterior algebra)**中不同阶(grade)的向量表示，例如3D空间中：

scalar: 0-vector
plane: 1-vector
lines : 2-vector
point: 3-vector

每一阶的都构成一个向量代数空间（运算为加法和乘法）。几何代数的元素被称作多重向量(multivector)，是k-vector的“和”。一个multivector MMM的k阶部分，记作⟨M⟩k\langle M \rangle_k⟨M⟩k。几何图元之间的关系通过**几何积(geometric product)**来表达。

下面举一些用PGA解决常见几何问题的形式化的例子，感受PGA方法的框架的运用。

Example 1. 3D空间中的点直线

目标任务：对三维欧式空间E3E^3E3中给定的一个点PPP，一个不经过该点的直线Π\PiΠ。找到唯一的直线Σ\SigmaΣ经过PPP点并和直线Π\PiΠ正交。

一个直线Π\PiΠ（2-vector），和一个点PPP(3-vector)，通过几何积ΠP\Pi PΠP，包含了两个部分，一个1-vector，一个3-vector
ΠP=⟨ΠP⟩1+⟨ΠP⟩3\Pi P=\langle \Pi P\rangle_1+\langle \Pi P \rangle_3 ΠP=⟨ΠP⟩1+⟨ΠP⟩3

⟨ΠP⟩1\langle \Pi P\rangle_1⟨ΠP⟩1 是垂直于直线Π\PiΠ过点PPP的平面，记作Π⋅P\Pi \cdot PΠ⋅P
⟨ΠP⟩3\langle \Pi P\rangle_3⟨ΠP⟩3 是平面的法线方向。在这个例子中用不到。

如Fig. 1中所示，我们想求的直线Σ\SigmaΣ可以这样得到：

Π⋅P\Pi \cdot PΠ⋅P是垂直于直线Π\PiΠ过点PPP的平面
点(Π⋅P)∧Π(\Pi\cdot P)\wedge \Pi(Π⋅P)∧Π是平面Π⋅P\Pi \cdot PΠ⋅P与直线Π\PiΠ的交点
直线Σ:=((Π⋅P)∧Π)∨P\Sigma :=((\Pi\cdot P)\wedge\Pi)\lor PΣ:=((Π⋅P)∧Π)∨P，是交点到PPP的直线。其中，∧\wedge∧ ∨\lor∨是外代数中的运算概念。后面的章节将会详细介绍。

Example 2. 一个3D万花筒(Kaleidoscope)

目标任务：一个 k-Kaleidoscope 是E3E^3E3中一对镜子平面a,b\bold{a},\bold{b}a,b，两平面之间夹角为Π/k\Pi/kΠ/k。给一个几何体GGG，通过镜像复制，生成一个GGG在这个“万花筒”中看到的形状。

在PGA中, a\bold{a}a是一个1-vector。可以normalize使得a2=1\bold{a}^2=1a2=1。在PGA中，一个物体对几何的反射，通过**"sandwich"运算**aGa\bold{aGa}aGa实现，其中G\bold{G}G可以是任意的几何元。a2=1\bold{a}^2=1a2=1的作用是保证几何体经过sandwich形状相同。

在Fig. 2 第二幅图中，是bGb\bold{bGb}bGb和aGa\bold{aGa}aGa的结果。第三幅图中，是G\bold{G}G对a,b\bold{a,b}a,b任何可能的所有反射的结果（e.g. baGab\bold{baGab}baGab）。例如，若镜子平面的夹角是Π/6\Pi/6Π/6，则这个万花筒反射复制了121212个几何体G\bold{G}G。（在这里，(ab)6=(ba)6=1\bold{(ab)}^6=\bold{(ba)}^6=1(ab)6=(ba)6=1）。

Example 3. 一个3D中连续螺旋的动作

目标任务：表示一个3D的连续螺旋动作(screw motion)

E3E^3E3中一般的物体姿态方向不变的变换是螺旋动作，即围绕一个特定直线（轴）旋转，同时沿平行于这个直线的方向平移。平移距离和旋转弧度的比，叫做螺距(pitch)。只有旋转的运动的螺距是0，只有平移的运动的螺距是∞\infty∞。

在Example 2. 中，我们已经看到了包含旋转的操作，它通过在两个有夹角的平面之间反射实现。(i.e., b(aGa)b\bold{b(aGa)b}b(aGa)b，就是旋转两倍反射平面夹角的结果，在上面的例子中是π/3\pi/3π/3）。

下面我们用不同但有些类似的方法来得到绕特定轴的旋转。在E3E^3E3中，一个过点PPP，以VVV为方向的直线通过Ω:=P∨V\Omega:=P\lor VΩ:=P∨V得到(Fig. 3中的黄线)。可以通过normalize使得Ω2=−1\Omega^2=-1Ω2=−1。为了得到围绕Ω\OmegaΩ旋转α\alphaα的转动，定义motor etΩe^{t\Omega}etΩ. 感觉类似于以复数为指数，因为Ω2=−1\Omega^2=-1Ω2=−1。利用前面的sandwich运算，我们就得到etΩGe−tΩe^{t\Omega}Ge^{-t\Omega}etΩGe−tΩ，就能够实现GGG围绕Ω\OmegaΩ连续旋转的结果。若t=0t=0t=0，则保持不变。t=α/2t=\alpha/2t=α/2时，表示旋转弧度α\alphaα。对四元数熟悉的读者应该能注意到它与四元数表示旋转的相似之处，这并不是巧合。在后面的章节中会介绍。

为了得到一个沿Ω\OmegaΩ的平移变换，我们用一个不同的直线：通过polarity运算:Ω⊥\Omega^\perpΩ⊥。Ω⊥\Omega^\perpΩ⊥是Ω\OmegaΩ的正交补，且长度为无穷。它由所有Ω\OmegaΩ垂直的方向组成。如果Ω\OmegaΩ看做是一个竖直的轴，则Ω⊥\Omega^\perpΩ⊥是水平直线。在PGA中，正交补是通过乘上一个特殊的 4-vector得到的，单位**伪标量（pseudoscalar，**是几何代数最强大也有趣的工具之一） I:Ω⊥:=ΩI\bold{I:\Omega^\perp:=\Omega I}I:Ω⊥:=ΩI。一个连续的平移是通过一个对平移量etΩ⊥e^{t\Omega^\perp}etΩ⊥做sandwich运算得到的。

将上面的旋转、平移结合起来，对于螺距为p∈Rp\in \Rp∈R的螺旋运动，可以表示为
et(Ω+pΩ⊥)=etΩetpΩ⊥e^{t(\Omega+p\Omega^\perp)}=e^{t\Omega} e^{tp\Omega^\perp} et(Ω+pΩ⊥)=etΩetpΩ⊥
用它来对G\bold{G}G作sandwich运算。

在接下来的章节中，将会介绍PGA的数学基础。

参考文献

[1] Charles G. Gunn. Course notes Geometric Algebra for Computer Graphics SIGGRAPH 2019.

水平有限，笔记概括可能有不好的地方。如有错误请指正，如有疑惑可参考上述资料。

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