2019 CSP-S Day2 T1 Emiya 家今天的饭（DP）

题目

Description

Input

Output

输出到文件 meal.out 中。
仅一行一个整数，表示所求方案数对 998, 244, 353 取模的结果。

Sample Input

Sample Input1
2 3
1 0 1
0 1 1

Sample Input2
3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0

Sample Input3
5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1

Sample Output

Sample Output1
3

Sample Output2
190

Sample Output3
742

Data Constraint

题解

作为联赛的Day2-T1，理论上应该AC是应该不难的，
但是，这道题偏偏难倒了我。。。考场上简直觉得这是神仙题！！！
赛后一想，这题并没有那么难，随着一档又一档部分分的实现，我离正解越来越近，
不得不说，这是一道质量很高的题（其实联赛题质量都挺高的），主要体现在分了许多子任务和它们各自的不同与联系。
开始进入正题——
观察满分数据大小，猜测正解的复杂度应该是O(n2m)O(n^2m)O(n2m)的。
先想最简单的暴力怎么做？
暴力搜索每种烹饪方法选用什么食材或不选该种烹饪方法，时间复杂度O(mn)O(m^n)O(mn)，期望得分32分。
发现每次DFS到下一种烹饪方法时，最多一种食材数量改变，
又看到有64分数据的mmm特别小，想到可以DP，先枚举总共选多少种烹饪方法，再设f[i][j][k][l]f[i][j][k][l]f[i][j][k][l]表示当前选到第iii种食材，mmm种食材分别选了j,k,lj,k,lj,k,l个的方案数，如果m=1m=1m=1或222多余的k,lk,lk,l就恒为000，
每次从f[i−1][j][k][l]f[i-1][j][k][l]f[i−1][j][k][l]或f[i−1][j−1][k][l]f[i-1][j-1][k][l]f[i−1][j−1][k][l]或f[i−1][j][k−1][l]f[i-1][j][k-1][l]f[i−1][j][k−1][l]或f[i−1][j][k][l−1]f[i-1][j][k][l-1]f[i−1][j][k][l−1]转移，须保证j,k,lj,k,lj,k,l不大于n2\frac{n}{2}2n。
时间复杂度O(n5)O(n^5)O(n5)，其中nnn的指数会随mmm增大而增大，所以m>3m>3m>3时是过不去的，期望得分64分。
如果m>3m>3m>3的话，该怎么记录呢？开若干维状态？还是状态压缩？还是什么奇技淫巧？似乎都是不行的。。。
要是顺着这种思路下去，这题就只能拿到这么多分了！
（这就是考场上的我，心凉~~~）
重新回到题目，要求每种食材使用次数不能超过总数的一半，想到容斥，用总方案数减去不合法的。
总方案数用递推很好实现，那么不合法的呢？
会发现无论怎么选，也最多只会有一种食材出现不合法（这个重要结论似乎很显然，可没想到是就是没想到），，，
因此，我们枚举哪种食材不合法，然后简单地DP，
记录当前总共选了多少个，且有多少个是不合法的那种。
时间复杂度O(n3m)O(n^3m)O(n3m)，期望得分84.
显然要优化掉一个nnn，考虑减少一维状态，
改成记录不合法减去合法的个数，最后这一维大于000的部分就是可以累计的答案，
时间复杂度O(n2m)O(n^2m)O(n2m)，期望得分100！

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
#define md 998244353
ll a[110][2010],f[110][210],sum[2010];
int main()
{freopen("meal.in","r",stdin);freopen("meal.out","w",stdout);int n,m,i,j,k,l;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);f[0][0]=1;for(i=1;i<=n;i++){sum[i]=0;for(j=1;j<=m;j++) sum[i]=(sum[i]+a[i][j])%md;for(j=0;j<=i;j++) {f[i][j]=f[i-1][j];if(j) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-1]*sum[i])%md;}}ll ans=0;for(i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[n][i])%md;for(k=1;k<=m;k++){f[0][n]=1;for(i=1;i<=n;i++){for(j=-i;j<=i;j++){f[i][j+n]=f[i-1][j+n];if(j>-i) f[i][j+n]=(f[i][j+n]+f[i-1][j-1+n]*a[i][k])%md;if(j<i) f[i][j+n]=(f[i][j+n]+f[i-1][j+1+n]*(sum[i]-a[i][k]+md))%md;}}for(i=1;i<=n;i++) ans=(ans-f[n][i+n]+md)%md;}printf("%lld",ans);fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;
}

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