线性卷积与圆周卷积的计算方法

现在很多工具里都已经为我们实现好了线性卷积和圆周卷积的函数，所以在实现方面简单调用一下即可。如matlab中，
conv用于计算线性卷积，而cconv用来计算圆周卷积

在国内搜了很多计算圆周卷积的例子，居然鲜有人提到cconv函数，而都是人云亦云都抄袭一套自实现函数，真是有点意想不到。

下面直接上干货，简单介绍一下线性卷积和圆周卷积的计算方法

线性卷积

线性卷积的计算网上有很多，这里就不一一介绍了。我个人使用的方式也很好理解，
例如
x(n) = {1,5,7,3,2,1,6,9}
h(n) = {2,4,6,1,3}

可以通过将x(n)中的每个数字从左往右乘以h(n)

1|  2   4     6    1    3
5|       10    20  30    5  15
7|              14   28    42 7    21
..................

以此类推，如下图示，乘积后的结果再错位相加。得到的结果即为线性卷积结果。

圆周卷积

介绍圆周卷积的方法真的比较少，大多讲诉的都不易理解。我个人的计算方法是这样的，参考链接可以看这里。

首先,将h(n)根据x位数在尾部补零，即为 h(n) = {2,4,6,1,3,0,0,0}.

第二步，将h翻折，开始位移。
在位移一步时，剩下的位子，将尚未移动的部分填充。

第三步，填充后，对应的每一位相乘后再相加。

对应上面的结果就是

1*2+5*0+7*0+3*0+2*3+1*1+6*6+9*4 = 2+0+0+0+6+1+36+36=81

这个实际上就是圆周卷积的y[0]

后面重复上面的步骤，位移，填充，相乘相加，直到h位移结束
示例图如下，

数据一致性

这里可以看到，圆周卷积和线性卷积的结果不是完全一致的。相同部分我用绿色标注出来了。有一个结论，关于圆周卷积和线性卷积。大家可以记一下

一般的，如果两个有限长序列的长度为N1 和 N2，且满足 N1>=N2 ，则圆周卷积的后
N1-N2+1个点，与线性卷积的结果一致。

这里N1=8,N2=5,所以 8-5+1=4个点后的结果一致。

那么是不是必然这样吗？
如果N1>2*N2的话，这种方法的圆周卷积出来的结果是完全一致的。
下面是一个例子，

注意事项

上面数据一致性的讨论（特别是完全一致时）是基于我在本文中的圆周卷积实现方法的前提下说的
matlab中的cconv函数计算出来的圆周卷积是和线性卷积一致的，并且它的结果是浮点型。效果如下，

最后我把计算线性卷积和圆周卷积的方法做成了excel，大家如果有兴趣的话可以在这里下载。https://download.csdn.net/download/mimiduck/13105696