1 内容简介

介绍了两个有限长离散序列的线性卷积与圆周卷积的表达式，与其矩阵表达，这会有利于运算。
这部分内容源自于信号课程，由于老师的课件过于省略，讲解也有点抽象，还是靠自己动手算一算来得好。

2 符号说明

令x[n]，h[n]分别为长度M，N的有限长离散序列。
为了便于矩阵表达，也用xxx与hhh表达序列的对应列向量，为了便于表述，下面不区分“序列”与“向量”。
定义 hN0(k)h^0_N(k)hN0(k)为序列h补充0延长至长度N，并圆周移位k。
例如 x=[1,2,3]Tx=[1,2,3]^Tx=[1,2,3]T，那么 x40(2)=[3,0,1,2]Tx^0_4(2)=[3,0,1,2]^Tx40(2)=[3,0,1,2]T。
因此h的无限长补零序列可以记为h∞0h^0_{\infty}h∞0。
由于这样产生的序列仍然是离散序列，所以仍然使用xN0(k)[n]x^0_N(k)[n]xN0(k)[n]表达对第n个元素的访问。

由此可定义卷积矩阵C(h)(M×N)C(h)_{(M\times N)}C(h)(M×N)
C(h)M×N=[hM0(0)hM0(1)⋯hM0(N−1)]C(h)_{M\times N}=\left[ \begin{matrix} h^0_M(0)&h^0_M(1)&\cdots&h^0_M(N-1) \end{matrix} \right] C(h)M×N=[hM0(0)hM0(1)⋯hM0(N−1)]
显然M与N对应矩阵的行列数，也决定了矩阵的构造。
依然以x=[1,2,3]Tx=[1,2,3]^Tx=[1,2,3]T为例，有
C(x)4×3=[103210321032]C(x)_{4\times 3}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ \end{matrix} \right] C(x)4×3=⎣⎢⎢⎡123001233012⎦⎥⎥⎤
直观上非常好理解。

3 线性卷积及其矩阵表达

对于长度分别为M,N的有限长离散序列x[n],h[n]，线性卷积表述为
x[n]∗h[n]=Σm=−∞+∞x∞0[m]⋅h∞0[n−m]x[n]*h[n]=\Sigma_{m=-\infty}^{+\infty} x^0_{\infty}[m]\cdot h^0_{\infty}[n-m] x[n]∗h[n]=Σm=−∞+∞x∞0[m]⋅h∞0[n−m]
其实就是补零的无限长序列做个卷积和。
先考虑有限长序列的形态特征再相乘求和实在是一件麻烦的事情，矩阵表述的意义就是让结果更简单，经过简单的计算易得到：
x∗h=C(h)(M+N−1)×Mx=C(x)(M+N−1)×Nhx*h=C(h)_{(M+N-1)\times M}x=C(x)_{(M+N-1)\times N}h x∗h=C(h)(M+N−1)×Mx=C(x)(M+N−1)×Nh
举个例子，令x=[1,2,3]Tx=[1,2,3]^Tx=[1,2,3]T，h=[2,1,0,1]Th=[2,1,0,1]^Th=[2,1,0,1]T，做线性卷积运算有
x∗h=[100021003210032100320003][2101]=[258423]x*h=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 8 \\ 4 \\ 2\\ 3\\ \end{matrix} \right] x∗h=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡123000012300001230000123⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡2101⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡258423⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
也可以写成
x∗h=[200120012101010001][123]=[258423]x*h=\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 8 \\ 4 \\ 2\\ 3\\ \end{matrix} \right] x∗h=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡210100021010002101⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎡123⎦⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡258423⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
结果是一致的，可以看出来如果是进行手算的话，非常方便。

4 圆周卷积及其矩阵表达

定义h以N补零后做周期沿拓为h((n))Nh((n))_Nh((n))N，RN(n)R_N(n)RN(n)为长度为N的方波序列，那么N点圆周卷积可以表述为
x[n]⊛h[n]=(Σm=0N−1x[m]⋅h((n−m))N)RN(n)x[n]\circledast h[n]=(\Sigma_{m=0}^{N-1}x[m]\cdot h((n-m))_N)R_N(n) x[n]⊛h[n]=(Σm=0N−1x[m]⋅h((n−m))N)RN(n)
以上是书上的定义，可以说是非常恶心了。
经过简单的运算，N点圆周卷积的矩阵可以表达如下
x[n]⊛h[n]=C(h)(N×M)x=C(x)(N×N)hx[n]\circledast h[n]=C(h)_{(N\times M)}x=C(x)_{(N\times N)}h x[n]⊛h[n]=C(h)(N×M)x=C(x)(N×N)h
举个例子，令x=[1,2,3]Tx=[1,2,3]^Tx=[1,2,3]T，h=[2,1,0,1]Th=[2,1,0,1]^Th=[2,1,0,1]T，做4点圆周卷积运算有
x⊛h=[1032210332100321][2101]=[4884]x\circledast h=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 0 & 3\\ 3 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 8 \\ 4 \\ \end{matrix} \right] x⊛h=⎣⎢⎢⎡1230012330122301⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡2101⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡4884⎦⎥⎥⎤
也可以写为
x⊛h=[210121012101][123]=[4884]x\circledast h=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 8 \\ 4 \\ \end{matrix} \right] x⊛h=⎣⎢⎢⎡210112100121⎦⎥⎥⎤⎣⎡123⎦⎤=⎣⎢⎢⎡4884⎦⎥⎥⎤
结果是一样的，可以发现矩阵运算要方便很多，如果你使用长度短的向量作为被乘向量，那么会有最小的计算量。
从表达式就能轻易发现，M+N-1点的圆周卷积运算就与线性卷积运算相同了，如果做大于M+N-1点的圆周运算，就会得到线性卷积结果的补零序列。

另外，圆周卷积有性质，对于长度都为N的序列x与h，有
DFT{x⊛h}=X⋅HDFT\{x\circledast h\}=X\cdot H DFT{x⊛h}=X⋅H
这篇文章不讲DFT，所以引用这个圆周卷积定理并不是说明它，而是想说明，虽然前面一篇文章给出了DFT的矩阵表达，这篇文章还给出了圆周卷积的矩阵表达，但是没办法通过矩阵表达简化定理的证明过程，因为C(h)(M×N)C(h)_{(M\times N)}C(h)(M×N)这种矩阵太怪异了，它拆分不出更简洁的分量，如果要证明还是只能拆成求和的形式去证明。

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线性卷积，圆周卷积的矩阵表达

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1 内容简介

2 符号说明

3 线性卷积及其矩阵表达

4 圆周卷积及其矩阵表达

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